Наявність

10

Розглянемо задачу домінантного набору в загальних графах, і нехай - кількість вершин у графі. Жадібний алгоритм наближення дає гарантію наближення коефіцієнта , тобто можна знайти в многочлени час рішення таким, що , де - розмір мінімально домінуючого набору. Існують межі, що показують, що ми не можемо значно покращити залежність від $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$ http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf .

Моє питання: чи існує алгоритм апроксимації , який має гарантію в термінах замість ? У графах , де дуже велике по відношенню до оптимального, фактор - наближення було б набагато гірше , ніж в наближення. Чи відомо щось подібне, чи є причини, чому це не може існувати? Я задоволений будь-яким поліноміально-часовим алгоритмом, який виробляє рішення таке, що для деякої постійної $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$ .

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Барт Янсен
джерело

14

Я думаю, що це все ще відкрито, якщо домінантний набір або набір ударів мають наближення af (OPT) для деякої (нетривіальної) функції f. На це має бути дуже важким (і можливим глибоким) питанням відповісти. Я вважаю це найбільш хвилюючим питанням у параметризованому наближенні (поряд із аналогічним запитанням для Клайк). Ви можете поглянути на моє опитування [1], яке обговорює це питання. Зауважимо, що в недавній роботі [2] показано, що "задоволення монотонних схем для схем качка-2", проблема, яка є більш загальною, ніж домінуючий набір, не має наближення f (OPT) для жодної f.

[1] Д. Маркс. Параметризовані алгоритми складності та наближення. Комп'ютерний журнал, 51 (1): 60-78, 2008.

[2] Д. Маркс. Повністю неперемінні монотонні та антимонотонні параметризовані проблеми. У матеріалах 25-ї щорічної конференції IEEE з обчислювальної складності, Кембридж, штат Массачусетс, 181-187, 2010.

— Даніель Маркс
джерело

Дякуємо за довідку! Це гарно відповідає на моє запитання.

— Барт Янсен

Також може бути цікаво подивитися наступну замітку Нельсона, яка показує, що не можна отримати хороших співвідношень, які залежать лише від кількості наборів. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Чандра Чекурі

2

Це має бути коментар, оскільки він відповідає не безпосередньо на ваше запитання, а на пов’язане з цим питання. Можливо, подібний трюк з [1] дасть вам відповідь.

У роботі [1] доведено наступне:

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1] Родні Г. Дауні, Майкл Р. Стипендіати, Кетрін Маккартін та Френсіс Росмонд. "Параметризоване наближення домінуючих задач". Листи з обробки інформації, том 109, випуск 1, грудень, 2008.

— Руб
джерело

1

Трюк у [1] ґрунтується на тому, що незалежний домінуючий набір як проблема максимізації не є монотонним: підмножина можливого рішення не обов'язково є можливим рішенням (що зазвичай має місце для проблем максимізації, що мають значущі наближення). Тому цілком можливо, що кожне можливе рішення має однаковий розмір, що робить наближення неважливим.

— Даніель Маркс