Який найшвидший алгоритм для обчислення рангу прямокутної матриці?

З огляду на матрицю (якщо вважати ), який найшвидший алгоритм для обчислення його рангу та основи стовпців?$m \times n$$m \ge n$

Я знаю, що це можна вирішити за допомогою лінійного перетину матроїдів, що передбачає детермінований алгоритм часу та рандомізований алгоритм часу . Чи існує алгоритм детермінованого часу , який більш безпосередньо зводить задачу (або усунення Гаусса) до матричного множення?$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Можна ввести -матрицю в ешелонну форму за час O ( n ω + ϵ ) для будь-якого ϵ > 0 . Дивіться книгу "Алгебраїчна теорія складності" Бюргіссера, Клаузена, Шоклаллахі, Розділ 16.5.$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Тепер ви застосовуєте цю процедуру разів до своєї матриці m × n . Це дає алгоритм з арифметичними операціями O ( m n ω - 1 ) .$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

Якщо ви введете матрицю в ешелонну форму, то вона містить нульову матрицю розміром n × n згодом. Ви берете решту n × n -матриці, додаєте новий n × n -блок своєї вхідної матриці та доведіть це до форми ешелону тощо.$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$

$m \times n$$\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$$\textrm{nnz}(A)$$A$$r$$A$$r$$O(mn^{\omega-1})$