Неоднозначність і логіка

В теорії автоматів (кінцеві автомати, пушдауд-автомати, ...) і в складності існує поняття "неоднозначність". Автомат неоднозначний, якщо є слово $w$ з принаймні двома чітко прийнятими прогонами. Машина $k$ неоднозначна, якщо для кожного слова $w$ прийнятого машиною, існує максимум $k$ різних чітких циклів, щоб прийняти $w$ .

Це поняття також визначається в контексті без граматики: граматика неоднозначна, якщо існує слово, яке можна вивести двома різними способами.

Відомо також, що багато мов мають приємну логічну характеристику для обмежених моделей. (Якщо мова є регулярним, існує Монадический другого порядку формула ф над словами таким чином, що кожне слово W з L являє собою модель ф , аналогічно НП , якщо еквівалентні формулам другого порядку , де кожен 2 - й квантіфікатори порядку екзистенційно.)$L$$\phi$$w$$L$$\phi$

Отже, моє запитання стоїть на краях двох областей: чи є якийсь результат, або навіть канонічне визначення "неоднозначності" формул заданої логіки?

Я можу уявити кілька визначень:

• неоднозначно, якщо існує максимум один x такий, щовиконується ϕ ( x ), і ϕ ( x ) неоднозначний. $\exists x \phi(x)$$x$$\phi(x)$$\phi(x)$
• було б неоднозначним, якщо існує модель як ϕ 0, так і ϕ 1 , або якщо ϕ i неоднозначна. $\phi_0\lor\phi_1$$\phi_0$$\phi_1$$\phi_i$
• Формула SAT була б неоднозначною, якщо є максимум одне правильне призначення.

Отже, мені цікаво, чи це загальновідоме поняття, інакше може бути цікавим спробувати зробити дослідження на цю тему. Якщо поняття відоме, чи міг би хтось надати мені ключові слова, які я міг би використати для пошуку інформації з цього питання (адже "логічна неоднозначність" дає безліч непов'язаних результатів) або посилання на книги / pdf / статті?

Правила в граматиці та правила виводу в логіці можна розглядати як правила виробництва, які дають нам "нові речі" з "відомих матеріалів". Так само, як може бути багато способів скласти (або розібрати) слово стосовно граматики, так може бути багато способів скласти (або довести) логічну формулу. Цю аналогію можна зробити далі. Наприклад, певні логічні системи допускають нормальні форми доказування. Так само деякі граматики допускають канонічний розбір дерев.

Тому я б сказав, що ваші приклади з логіки йдуть у неправильному напрямку. Правильна аналогія

"дерево розбору": "слово" = "доказ": "логічна формула"

Насправді достатньо загальний вид граматики зможе виразити типові правила логіки виводу, так що граматично правильні слова будуть саме формули, що підтверджуються. У цьому випадку дерева розбору фактично стануть доказами.

У зворотному напрямку, якщо ми готові думати про дуже загальні правила умовиводу (які не обов'язково мають традиційний логічний відтінок), то кожна граматика буде виражається як система аксіом (терміналів) та правил умовиводу (постановки). І ще раз ми побачимо, що доказ - це те саме, що і дерево розбору.

Всього два зауваження. Сподіваюся, вони допоможуть.

Стандартні визначення семантики логіки та істини випливають із викладу Тарського, виходячи з індукції на структуру формули. Інша можливість полягає в наданні ігрової семантики, як запропонував Hintikka. Істина та задоволеність визначаються стратегічно в грі. Для формул першого порядку можна довести, що формула є вірною за поняттям Тарскі тоді і лише тоді, коли в грі Hintikka існує стратегія виграшу.

На шляху до формалізації свого питання можна запитати, чи гра допускає кілька стратегій. Існує також цікаве питання про те, чи повинні стратегії бути детермінованими. Хінтіка вимагала, щоб вони були детермінованими. Доказ того, що оригінал Хінтіка і семантика Тарського рівнозначні, вимагає вибору Аксіоми. Можна також формалізувати істину щодо ігор з недетермінованими стратегіями з меншою кількістю ускладнень.

Приклад вашої теорії мови привів до уваги детермінізм, імітаційні відносини та прийняття мови. Симуляційне відношення між автоматами передбачає включення мови між їхніми мовами, хоча навпаки не відповідає дійсності. Для детермінованих автоматів два поняття збігаються. Можна запитати, чи можна розширити відносини моделювання «плавно», щоб захопити еквівалентність мови для недетермінованих автоматів. У Kousha Etessami є справді приємний документ, який показує, як це зробити за допомогою k-моделювання ( Ієрархія обчислювальних симуляцій у поліномій-часі для автоматів)). Інтуїтивно «k» відображає ступінь недетермінованості, яку може сприймати відношення моделювання. Коли 'k' дорівнює рівню недетермінізму в автоматі, моделювання та мовна еквівалентність збігаються. Цей документ також дає логічну характеристику k-моделювання з точки зору поліадичної модальної логіки та обмеженого змінного фрагмента логіки першого порядку. Ви отримуєте мовне включення, детермінізм, ігри, модальну логіку та логіку першого порядку, все в одному пакеті бампера.

Це почалося як коментар у відповідь Андрея Бауера, але воно стало занадто великим.

Я думаю, очевидним визначенням неоднозначності з точки зору теорії кінцевих моделей було б: $ambiguous(\phi) \implies \exists M_1,M_2 | M_1 \vDash \phi \wedge M_2 \vDash \phi \wedge M_1 \vDash \psi \wedge M_2 \nvDash \psi$

Словом, існують чіткі моделі вашої граматики, закодовані як формула яку можна розрізнити за якоюсь формулою ψ , можливо, підформулою ϕ .$\phi$$\psi$$\phi$

Ви можете пов’язати це з відповіддю Андрія про докази через описову складність. Поєднання існування кодування певної моделі плюс її прийняття відповідною ТМ як моделі заданої формули є доказом того, що аксіоми та умовиводи (а отже, і еквівалентна граматика), закодовані у цій формулі, є узгодженими.

Щоб зробити це повністю сумісним з відповіддю Андрія, вам слід сказати, що модель "генерується" формулою, що діє як фільтр на просторі всіх можливих кінцевих моделей (або щось подібне), з кодуванням і дією фільтрації на вхідній моделі як "доказ". Тоді різні докази свідчать про неоднозначність.

Це може бути не популярним настроєм, але я схильний думати про теорію кінцевих моделей та теорію доказів як про одне і те ж, що розглядається з різних ракурсів. ;-)

Не впевнені у питанні, застосованому до CS, але спробуйте пошукати термін Невиразність та логіку. У філософії логіки неоднозначність зазвичай відрізняється від розпливчастості (див. Тут, наприклад), і я думаю, що ви хочете, це невизначеність (як розпливчастість визначається як терміни, де є прикордонні випадки). Основна книга в цій області - Неясність Тімоті Вільямсона (але також дивіться бібліографію на сайті Стенфорда вище).

Я (також) згоден з Анреєм.

Я думаю, що описова складність - це нехарактеризована характеристика (що робить її цікавою по-своєму), і тому приклади обчислювальної неоднозначності з теорії формальних мов (автомати / граматики / ...), на які ви виглядали, знаходяться в зовсім іншій області . У описовій складності мови відповідають класам складності, а запити (мовою) відповідають обчислювальним завданням (а не алгоритмам). Немає призначеного способу перевірки / обчислення запиту AFAIK, тому якщо ви не шукаєте обчислювальної неоднозначності IMHO, ці приклади вводять в оману.