Ізометричне вбудовування L2 в L1

Відомо , що дано - точкове підмножина (тобто, з урахуванням точок в з евклідовим відстанню) можна вставляти їх изометрически в . $n$ $\ell_2^d$ $n$ ${\mathbb R}^d$ $\ell^{n\choose 2}_1$

Чи піддається обчислення ізометрії в (можливо, рандомізований) поліноміальний час?

Оскільки є питання з обмеженою точністю, точне питання

Враховуючи набір $X$ з $n$ точок у ${\mathbb R}^d$ та $\epsilon >0$ , чи є відображення $f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$ обчислити (можливо, використовуючи випадковість) у многочлен часу в $n$ і логарифмічний в $1/\epsilon$ такий, що для кожного $x,y\in X$ маємо

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(Примітка. Мені відомо, що відображення з викривленням $(1+\epsilon)$ може бути знайдено з великою ймовірністю у поліномії часу в $n$ та $1/\epsilon$ , проектуючи на $O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$ випадкові лінії, але я не впевнений, чи можна число вимірювань конструктивно зменшити до $n\choose 2$ або навіть $O(n^2)$ коли $1/\epsilon$ набагато більший за $n$ , і я не знаю, чи є - поліноміальний метод часу для обробки випадку, коли $1/\epsilon$ є експоненціальним у $n$ .)

cg.comp-geom metrics embeddings

— Лука Тревісан
джерело

це дуже приємне запитання. @Luca, ти підозрюєш, що це може бути важко? (звичайно, моя перша думка полягала в тому, щоб переглянути «Хаммінг зустрічається з Евклідом», а потім я побачив особу запитувача :)

— Суреш Венкат

Цей посилання, як видається, пов'язане: Пьотр Індик, "Принципи невизначеності, екстрактори та явні вбудовування l2 в l1", Зб. STOC'07.

— Мартін Шварц

@David: - кількість точок, я виправив місце, де я використав для виміру. Те, що точок евклідового простору (будь-якого виміру) може бути вбудовано ізометрично в , доведено тут: www-math.mit.edu/~goemans/18409-2006/lec1.pdf, а не -конструктивно. (теорема Каретодорі про перехід від кінцевих, але великих розмірів до розмірності з довільно малою помилкою, і аргумент компактності для переходу від довільно малої помилки до нульової помилки.)

n

$n$

n

$n$

n

$n$

ℓ_{1}^{(\binom{n}{2})}

$\ell_1^{n \choose 2}$

(\binom{n}{2})

${n \choose 2}$

— Лука Тревісан,

@Martin: дякую за довідку. У статті Пьотра йдеться про більш проблему відображення всіх (не лише фіксованого набору з точок) до . Для цієї проблеми я вважаю, що це відкрита проблема навіть досягти, конструктивно, та спотворення . (Пьотр отримує і .)

ℓ_{2}^{d}

$\ell_2^d$

n

$n$

ℓ_{1}^{m}

$\ell_1^m$

m = p o l y (d, 1 / ϵ)

$m = poly(d,1/\epsilon)$

(1 + ϵ)

$(1+\epsilon)$

m = d^{O (\log d)}

$m = d^{O(\log d)}$

ϵ = 1 / d

$\epsilon = 1/d$

— Лука Тревісан

@LucaTrevisan: re: твердість вбудовування в l1, це правда (це згадується в розділі 1 або 2 книги "Деза і Лоран" - я думаю, що через MAX CUT)

— Суреш Венкат

Суреш попросив зібрати свої коментарі вище у відповідь, так ось це. Я не дуже впевнений, що це відповідь на початкове запитання, оскільки не очевидно, як зробити це поліномом, коли розмірність вхідного евклідового простору є незмінною. Принаймні, має перевагу уникнути будь-якої проблеми з великим як задається оригінальним запитанням, оскільки це не передбачає наближення, і воно виглядає поліномом для постійного . $1/\epsilon$ $d$

Так чи інакше: з інтегральної геометрії існує стандартна міра на множинах гіперпланів у -вимірному евклідовому просторі, інваріантна за евклідовою конгруенцією. Він має властивість, що довжина будь-якої кривої обмеженої довжини пропорційна мірі гіперплощин, які перетинають (з кратністю, тобто якщо гіперплан перетинає вдвічі, то він вдвічі сприяє загальній мірі гіперпланів, що перетинають ). Зокрема, якщо - лінійний відрізок, тоді ускладнення множинності не виникає, і ми можемо нормалізувати міру на гіперпланах, що перетинають точно на довжину $d$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ . (Гіперплани, що містять мають міру нуля, тому не турбуйтеся про нескінченну кратність.) $C$

Тепер, набір n точок у двовимірному просторі, зробіть координату для кожного з розділів точок на дві підмножини, індуковані гіперплощиною, яка не проходить через жодну з точок. Наведіть точки, що знаходяться на одній стороні значення координати розділу, нульові, а точки на іншій стороні значення координати перегородки, що дорівнює мірі набору гіперпланів, що індукують цю перегородку. $\ell_1$

Якщо і є будь-якими двома з точок, нехай - сукупність гіперпланів, що перетинають відрізок , і нехай - підмножини утворені кожною можливою гіперплощинною секцією, яка має з одного боку і з іншого. Тоді - неперервне з'єднання , а різниці координат між і це лише міри підмножини . Тому відстань між координаціями і $p$ $q$ $n$ $K$ $pq$ $K_i$ $K$ $p$ $q$ $K$ $K_i$ $p$ $q$ $K_i$ $\ell_1$ $p$ $q$ (сума мір ) - міра , яка є просто початковою відстані між і . $K_i$ $K$ $\ell_2$ $p$ $q$

Для обчислювальних геометрів може бути корисним альтернативний опис тієї самої конструкції: використовувати проекційну подвійність для перетворення вхідних точок на гіперплан та розділення гіперпланів на точки. Міра інтегральної геометрії на множинах гіперплощин потім перетворюється на більш стандартну міру на множинах точок, відстань між і дуалізується на міру подвійного клина між двома гіперпланами, і розташування гіперпланів розділяє цей подвійний клин на менші осередки . Значення координати для точки - це або міра однієї з комірок у розташуванні (якщо подвійна гіперплощина знаходиться нижче комірки координати), або нульова (якщо подвійна гіперплощина знаходиться вище комірки). Тому $n$ $n$ $p$ $q$ $\ell_1$ відстань між і - це лише сума мір комірок у подвійному клині, що така ж, як міра всього подвійного клина. Ця подвійна точка зору також дозволяє легко обчислити розмірність вбудовування, знайденого таким чином: це просто кількість комірок у розташуванні гіперплощин, яке становить , а точніше, не більше . $p$ $q$ $O(n^d)$ $\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

Поки що це дає повністю детерміновану та точну вбудовування в . Але ми хотіли меншого виміру, . Ось звідки надходить коментар Лука щодо теореми Каратеодорі . Сукупність метрики утворює багатогранний конус у -вимірному просторі всіх функцій від невпорядкованих пар точок до реальних чисел, а геометричний аргумент вище говорить про те, що до цього конуса належить евклідова метрика. Точки на крайніх променях конуса є одновимірними $\ell_1^{O(n^d)}$ $\ell_1^{n\choose 2}$ $\ell_1$ $n\choose 2$ $\ell_1$ псевдометрія (у якій точки розділені на два множини, всі відстані в межах одного набору дорівнюють нулю, а всі відстані через розкол рівні), і Carathéodory каже, що будь-яка точка всередині конуса (включаючи ту, що нас хвилює) може бути представлена у вигляді опуклої комбінації точок на екстремальних променях, число яких становить щонайбільше розмірність простору навколишнього середовища, . Але опукла комбінація щонайбільше одновимірних метрик - це . $n\choose 2$ $n\choose 2$ $\ell_1$ $\ell_1^{n\choose 2}$

Нарешті, як ми можемо реально обчислити двовимірне вбудовування? На даний момент ми маємо не просто точку опуклого конуса з метрики (метрику відстані, з якої ми розпочали), але ми також маємо набір крайніх точок конуса (відповідає розділам входу на дві підмножини, індуковані гіперпланами), таким чином, що наша метрика є опуклою комбінацією цих крайніх точок - для малих це велике поліпшення порівняно з крайніми променями, які має конус загалом. Тепер все, що нам потрібно зробити, - застосувати жадібний алгоритм, який позбавляється від крайніх точок з нашого набору, по одному, поки тільки $n\choose 2$ $n\choose 2$ $\ell_1$ $O(n^d)$ $d$ $2^n-2$ $n\choose 2$ з них залишилося. На кожному кроці нам потрібно як інваріант стверджувати, що наша метрика все ще знаходиться в опуклому корпусі решти крайніх точок, що є лише проблемою доцільності лінійного програмування. крайніх точки, у яких опуклий корпус містить вхідну метрику. $n\choose 2$

— Девід Еппштейн
джерело