Класифікація типізованих / нетипізованих лямбда-розрахунків

Чи може хтось коротко пояснити (якщо це можливо!) Або направити мене на посилання, узагальнюючи відмінності між нетипізованим обчисленням лямбда та більш поширеними набраними лямбда-розрахунками?

Я особливо шукаю висловлювань про їх виражальну силу, еквівалентність логічним / арифметичним системам або методам обчислень, а також аналогії мовам програмування, якщо це застосовно.

Хоча я, безумовно, маю намір прочитати, щось подібне до довідкової таблиці, у якій викладені обчислення та їх еквівалентність / відмінності / місце в ієрархії, було б ВЕЛИЧЕЗНИМИ посиланням для того, щоб допомогти мені розібратися.

Не кажучи, що наведено нижче, це правильно, просто намагаюся скласти разом деякі враження, які я маю побачити, чи вони принаймні слугують початковим пунктом (або чимось виправити!)

Нетипічне обчислення лямбда - екв. Логіка першого порядку - не може зробити X

Просто набрали обчислення лямбда - еквівалент ... логіці, пов’язаній з Ліспом?

«Поліморфний» лямбда-кальцій - тощо.

Обчислення конструкцій - логіка інтуїціонізму?

Комбінаційна логіка - порівнянна з ??? набране лямбда-числення, пов'язане з мовами APL / J

Якщо це зв’яжеться з кубом лямбда та його трьома осями, тим краще.

Хоча я знайомий з основами обчислення лямбда та програмуванням з функціональними мовами, я ніколи не обертав голову або не робив жодних суттєвих зв’язків із типовими системами та різними ароматами лямбда (а може бути, і пі?).

Коли я намагаюся досліджувати це, я не можу допомогти, але опинився під опроміненням, відкриваючи багато вкладок браузера і розгалужуючись у стільки напрямках, я ніколи не потрапляю ні в одну з них з будь-якою глибиною!

Я не впевнений, що те, про що я прошу, є розумним, але, сподіваюся, щонайменше, я намалював достатньо картини, щоб запропонувати прочитати, що може пояснити, що я шукаю?

Ваш стіл трохи заплутаний; ось кращий.

• Нетипічне обчислення лямбда - немає логічної інтерпретації, як зазначає Андрій
• Просто набране лямбда-числення - інтуїтивістська логіка пропозицій
• Поліморфне обчислення лямбда - чиста логіка другого порядку (тобто без кількісних показників першого порядку)
• Залежні типи - узагальнення логіки першого порядку
• Обчислення конструкцій - узагальнення логіки вищого порядку

Залежність типу є більш загальною, ніж кількісне визначення першого порядку, оскільки вона перетворює докази в об'єкти, за якими можна кількісно оцінити. Ламбда-розрахунки, що відповідають звичайній інтуїтивістській FOL, існують, але недостатньо широко використовуються, щоб мати спеціальну назву - люди, як правило, переходять безпосередньо до залежних типів.

Ви також можете зв’язати синтаксичну форму числення з логічними системами.

• Комбінаторні розрахунки (наприклад, комбінатори SKI) - системи в стилі Гільберта
• А-нормальна форма - послідовне обчислення
• Звичайне набрання лямбда - натуральне виведення

Чистий нетипізований -рахунок є Тюрінгом повним, тобто часткова теоретична карта чисел обчислюється, якщо і лише тоді вона визначається в нетипізованому λ -розрахунку. Обчислювальна потужність набраного λ -рахунку значно менша. Наприклад, якщо додати тип натуральних чисел до набраного λ -калькуляції разом із 0 , наступником та примітивною рекурсією, ми отримаємо те, що зазвичай відомо як Т Ґоделя . Він обчислює лише примітивні рекурсивні функції (і всі вони є сумарними).$\lambda$$\lambda$$\lambda$nat$\lambda$$0$$T$

Нетипізований -ісчісленія не мають розумну інтерпретацію при листуванні Каррі-Говарда, в той час як збірний λ -ісчісленія точно відповідає інтуїционістському обчисленню.$\lambda$$\lambda$

Моделями типового -калькуляції є саме декартові закриті категорії. Моделі нетипізованого λ -калькуляції менш сприятливі. Хоча про них можна говорити, вони, звичайно, не вивчаються так широко, як декартові закриті категорії.$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$$\lambda$Ulambda : U -> (U -> U)gamma : (U -> U) -> U$\lambda$$\mathbb{U}$$\lambda$$\mathcal{C}$$\mathbb{U}$$\mathbb{U}$$[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$$\mathbb{U} \cong \mathbb{U}^{\mathbb{U}}$

Список літератури:

• Дана С. Скотт: « Обчислення Лембди: деякі моделі, якась філософія », дослідження з логіки та основи математики, том 101, 1980, стор. 223-265, симпозіум Клейна

• Хендрік Пітер Барендрегт: " Обчислення лямбда: її синтаксис та семантика ", Ельзев'є, 1984.

Досить всебічне обговорення цього матеріалу можна знайти в цій книзі: Лекції про ізоморфізм Кері-Говарда . Це засновано на вільно доступній старій версії: Лекції про ізоморфізм Кері-Говарда .