Читаючи уважно Баєра та Катоена, вони розглядають як кінцеві, так і нескінченні системи переходу. Для означень див. Сторінку 20 цієї книги.
Спочатку візьміть просту систему переходу :EVEN
Лема: жодна формула LTL не розпізнає мову сліди ( E V E N ) . Рядок c ∈ L e v e n iff c i = a для парних i . Дивіться Волпер '81 . Ви можете довести це, спершу показавши, що жодна формула LTL з n операторами "наступного разу" не може розрізнити рядки форми p i ¬ p p ω для i > nLeven=(EVEN)c∈Levenci=ainpi¬ppωi>n, за допомогою простої індукції.
Розглянемо наступний (нескінченне, недетермінірованного) переходу системи . Зауважте, що є два різних початкових стани:NOTEVEN
Його сліди точно .{a,¬a}ω−Leven
Наслідок леми: Якщо то E V E N ⊭ ¬ ϕNOTEVEN⊨ϕEVEN⊭¬ϕ
Тепер розглянемо цю просту систему переходу :TOTAL
Сліди його чітко {a,¬a}ω .
Таким чином, і T O T A L не є еквівалентом у слідах. Припустимо, вони були нееквівалентними LTL. Тоді ми мали б формулу LTL ϕ таку, що N O T E V E N ⊨ ϕ і T O T A L ⊭ ϕ . Але тоді, E V E N ⊨ ¬ ϕNOTEVENTOTALϕNOTEVEN⊨ϕTOTAL⊭ϕEVEN⊨¬ϕ . Це суперечність.
Дякуємо Sylvain за те, що спіймав дурного помилку в першій версії цієї відповіді.