Теореми з фіксованою точкою для конструктивних метричних просторів?

Теорема фіксованої точки Банаха говорить про те, що якщо ми маємо не порожній повний метричний простір , то будь-яка рівномірна контрактивна функція має унікальну нерухому точку . Однак доведення цієї теореми вимагає вибору аксіоми вибору - нам потрібно вибрати довільний елемент щоб почати ітерацію з, щоб отримати послідовність Коші . $A$$f : A \to A$$\mu(f)$$a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

1. Як формулюються теореми з фіксованою точкою при конструктивному аналізі?
2. Також чи є стислі посилання на конструктивні метричні простори?

Причина, яку я запитую, полягає в тому, що я хочу побудувати модель системи F, в якій типи додатково несуть метричну структуру (серед іншого). Досить корисно, що в теорії конструктивних множин ми можемо приготувати сімейство множин , таким чином, що закривається під продуктами, експонентами та вкладеними сімействами, що дозволяє легко надати модель системи F.U $U$$U$$U$

Було б дуже приємно, якби я міг приготувати подібне сімейство конструктивних ультраметричних просторів. Але оскільки додавання вибору до теорії конструктивних множин робить це класичним, очевидно, мені потрібно бути більш уважними щодо теорем з фіксованою точкою, і, мабуть, і до інших речей.

Аксіома вибору використовується, коли є колекція "речей", і ви вибираєте один елемент для кожної "речі". Якщо в колекції є лише одне, це не аксіома вибору. У нашому випадку у нас є лише один метричний простір, і ми "вибираємо" точку в ньому. Отже, це не аксіома вибору, а усунення екзистенціальних кванторів, тобто у нас є гіпотеза і ми говоримо "нехай буде таким, що ". На жаль, люди часто кажуть " вибрати таке, що ", що потім виглядає як застосування аксіоми вибору.x ∈ A ϕ ( x ) x ∈ A ϕ ( x $\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$$\phi(x)$

Для довідки, ось конструктивний доказ теореми фіксованої точки Банаха.

Теорема: Скорочення на населеному повному метричному просторі має унікальну фіксовану точку.

Доказ. Припустимо, - це населений повний метричний простір і - скорочення. Оскільки - це стиснення, існує така, що і для всіх .f : M → M f α 0 < α < 1 d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ α ⋅ d ( x , y ) x , y ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$

Нехай і є фіксованою точкою . Тоді маємо з якого випливає, що , отже і . Це доводить, що має максимум одну фіксовану точку.v f d ( u , v ) = d ( f ( u ) , f ( v ) ) ≤ α d ( u , v ) 0 ≤ d ( u , v ) ≤ ( α - 1 ) d ( u , v ) ≤ 0 d ( u , v ) = 0 $u$$v$$f$

Залишається довести існування фіксованої точки. Оскільки населений, існує . Визначте послідовність рекурсивно за допомогоюІндукцією ми можемо довести, що . З цього випливає, що - послідовність Коші. Оскільки повна, послідовність має межу . Оскільки - це скорочення, воно рівномірно безперервне, тому воно комутується з межами послідовностей: Таким чином, є фіксованою точкоюx 0 ∈ M ( x i ) x i + 1 = f ( x i ) . d ( x i , x i + 1 ) ≤ α i ⋅ d ( x 0 , x 1 ) ( x i ) M y = lim i x i f f ( y ) = f $M$$x_0 \in M$$(x_i)$

Зауваження:

1. Я обережно не сказав "вибирати " та "вибирати ". Загальноприйнято говорити такі речі, і вони просто додають плутанини, яка заважає звичайним математикам бути в змозі сказати, що є, а не є аксіомою вибору.x $\alpha$$x_0$

2. У частині унікальності доказів люди часто припускають, що існують дві різні фіксовані точки і виникають протиріччя. Таким чином їм вдалося лише довести, що якщо і є фіксованими точками то . Тому тепер їм потрібно виключити середину, щоб дістатись до . Навіть для класичної математики це неоптимально і просто показує, що автор доказу не дотримується належної логічної гігієни.v f ¬ ¬ ( u = v ) u = $u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. У частині існування доказу послідовність залежить від екзистенціального свідка ми отримуємо, усуваючи припущення . У цьому немає нічого поганого. Ми робимо такі речі постійно. Ми нічого не вибрали. Подумайте про це так: хтось ще дав нам свідком за мешкання , і ми вільні щось з цим зробити.х 0 ∃ х ∈ М . ⊤ x 0$(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. Класично " населений" ( ), а " - не порожній" ( ) еквівалентні. Конструктивно перший має більше сенсу і корисний.$M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. Оскільки ми показали унікальність фіксованих точок, ми фактично отримуємо фіксовану точку оператора від скорочень на до точок , а не просто твердження .$\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. Нарешті, наступні теореми з фіксованою точкою мають конструктивні версії:

   • Теорема Кстертера-Тарського з фіксованою точкою для монотонних карт на повних гратах
   • Теорема Банаха з фіксованою точкою скорочень на повному метричному просторі
   • Теорема з фіксованою точкою Кнастера-Тарського для монотонних карт на dcpos (доведена Патараєю)
   • Різні теореми з фіксованою точкою в теорії домен зазвичай мають конструктивні докази
   • Теорема рекурсії - це форма теореми з фіксованою точкою і має конструктивне доведення
   • Я довів теорему, Кнастер-Тарський з фіксованою точкою для карт монотонних на ланцюговому повний ч.у.м. зовсім НЕ має конструктивне доказ. Аналогічно, теорема Бурбакі-Вітта з фіксованою точкою для прогресивних карт на повних ланцюжкових позах не вдається конструктивно. Контрприклад для більш пізнього походить від ефективного топосу: в ефективних топосних порядках (відповідним чином визначені) утворюють набір, а карти спадкоємців є прогресивними і не мають фіксованих точок. До речі, карта правонаступників на ординарних документах не є одноманітною в ефективних топосах.

Тепер це набагато більше інформації, ніж ви просили.