Хороші коди, які можна декодувати за допомогою лінійних розмірів схем?

Я шукаю коди виправлення помилок такого типу:

двійкові коди з постійною швидкістю,
декодируемый з деякої постійної частки помилок, декодером, реалізованим як булева схема розміру , де - довжина кодування. $O(N)$ $N$

Деякі відомості:

Spielman в лінійно-часових кодах, що коригуються помилками , давав коди, які можна декодирувати за час в моделі оперативної пам'яті з логарифмічною вартістю , а також розшифровувати за розмірами ланцюгів . $O(N)$ $O(N \log N)$
Гурусвамі та Індик дали вдосконалену конструкцію в кодах лінійного часу, кодируемих / декодируемих з майже оптимальним значенням . Вони не аналізують складну схему складності, хоча я вважаю, що це також . $\Theta(N \log N)$

Спасибі заздалегідь!

co.combinatorics it.information-theory coding-theory

Енді, випадково, я також натрапив на це питання близько року тому і, після короткого обшуку, зробив висновок, що питання було відкритим. Тож мені також цікаво, якщо відповідь відома.

— arnab

Цей звіт ECCC щойно вийшов. Я не перевірив, але, сподіваюся, це також дає схему .

Θ (N \log N)

$\Theta(N \log N)$

— Пітер Шор

Чи досягається декодування в моделі AWGN або двійковій моделі?

O (N)

$O(N)$

— Т ....

Хороші бінарні коди, які повністю лінійний час ( ) кодуються та декодируються та досягають швидкості помилки де - довжина блоку коду, ймовірно, вимагає принципово нової ідеї. Найкраще до цих пір - за теоремою в arxiv.org/pdf/1304.4321v2.pdf . Давайте подивимось, чи хтось покращує до там у кодування та декодування, який, на мою думку, повинен бути можливо (навіть з ). Однак для встановлення до може знадобитися більше кількох хитрощів.

O (N)

$O(N)$

2^{- N}

$2^{-N}$

N

$N$

1

$1$

2^{- N^{0.49}}

$2^{-N^{0.49}}$

2^{- N^{1 - μ}}

$2^{-N^{1-\mu}}$

N^{1 + ϵ}

$N^{1+\epsilon}$

μ = 0

$\mu=0$

ϵ

$\epsilon$

0

$0$

— Т ....

Погляньте на коди Expander. Ці коди досягають лінійного кодування часу та декодування. Лінійність wrt до розміру кодового слова. Але я не впевнений, чи їх можна розшифрувати за допомогою лінійних схем.

— Vivek Bagaria

Ви повинні подивитися на коди Торнадо {1}, які для будь-якого і і досить великого можуть бути призначені для відновлення (з високою ймовірністю) після втрати частка бітів у часі, пропорційна (див. теорему 1 в {1}). $R$ $\epsilon>0$ $n$ $(1-R)(1-\epsilon)$ $n \ln \frac{1}{\epsilon}$

{1} Лубі, Майкл Г. та ін. "Практичні коди, стійкі до втрат." Праці двадцять дев'ятого щорічного симпозіуму АСМ з теорії обчислень. ACM, 1997: http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/NEWWORK/postscripts/losscodes.pdf

— Арі Трахтенберг
джерело