Існування збереження площинної відстані?

Нехай G - непрямий графік n-вузла, а T - підмножина вузла V (G), що називається терміналами . Захисник відстані (G, T) - це графік H, що задовольняє властивість

для всіх вузлів u, v в T. (Зверніть увагу, що H НЕ обов'язково є підграфом G.)

Наприклад, нехай G - наступний графік (a), а T - вузли на зовнішній грані. Тоді графік (b) - збереження відстані (G, T).

Відомо, що існує збереження відстані з різними параметрами. Мене особливо цікавить той, що має такі властивості:

1. G - плоский і невагомий (тобто всі ребра G мають вагу один),
2. T має розмір $O(n^{0.5})$ , і
3. H має розмір (кількість вузлів і ребер) . (Було б добре, якби ми маємо O ( $o(n)$.)$O(\frac{n}{\log\log n})$

Чи існує такий збереження відстані?

Якщо ви не можете задовольнити перераховані вище властивості, будь-який вид розслаблення вітається.

Список літератури:

• Розрядні джерела та парні збереження відстані , Дон Копперсміт та Майкл Елкін, SIDMA, 2006.
• Рідкісні запобіжники та додаткові гайкові ключі , Бела Болобаш, Дон Копперсміт, та Майкл Елкін, SIDMA, 2005.
• Ключі та емулятори з помилками підлінійної відстані , Міккель Торпуп та Урі Цвік, SODA, 2006.
• Нижні межі для аддитивних гаечних ключів, емуляторів та іншого , Девід П. Вудрафф, FOCS, 2006.

Збережувач відстані також відомий як емулятор ; багато пов'язаних робіт можна знайти в Інтернеті, шукаючи термін гайковий ключ , який вимагає, щоб H був підграфом G. Але в моїх програмах ми також можемо використовувати й інші графіки, якщо H зберігає відстані між T у G.

Через багато років, схоже, ОП нарешті відповів на власне питання: Емулятор наближеного до оптимального відстані для планарних графіків Гісен-Чі Чанг, Павел Гавриховський, Шай Мозес та Орен Вейманн щойно був розміщений на арксиві.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$$|T| =: t$$\widetilde{O}(n^{3/4})$$\widetilde{O}(n)$ час; Я б сильно підозрював, що коефіцієнти журналу в розмірі можна видалити, якщо ми будемо дбати лише про існування, а не час обчислення збережувача, але я не жорстко перевірив це.

(На менш офіційній ноті я вважаю цей результат справді дивовижним. З повагою!)

ви можете подивитися планарний підмножина ключів Клейна, який зберігає відстані до коефіцієнта 1 + епсилон.

Ключ підмножини для плоских графіків із додатком до підмножини TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620