Плоский графік через перетин жирових речей?

Існує прекрасна теорема Кобі (див. Тут ), яка говорить про те, що будь-який плоский графік може бути намальований як цілуючий графік дисків (дуже романтично ...). (Якщо викласти дещо інакше, будь-який плоский графік можна намалювати як графік перетину дисків.)

Теорему Кобі довести не так просто. Моє запитання: Чи є простіший варіант цієї теореми, коли замість дисків дозволяється використовувати будь-які жирні опуклі форми (опуклість може бути відкритою для переговорів, але не жирності). Зауважте, що кожна вершина може мати різну форму.

Спасибі...

Пояснення: Для форми , нехай R ( X ) радіус найменшого охоплює кулі X , і нехай г ( Х ) нехай мені радіус найбільшого кулі в закритому S . Форма S є α- жирною, якщо R ( x ) / r ( x ) ≤ $X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$ . (Це не єдине визначення жирності, BTW.)

Ви не казали, що жирові предмети повинні бути двовимірними, чи не так? Фельснер і Френсіс доводять, що це завжди можливо з кутами-паралельними кубиками в 3d . Але доказ передбачає узагальнення Шрамма Кобі-Турстона-Андреєва, тож це не зовсім простіший результат. Вони також згадують, що для чотирьох з'єднаних максимальних плоских графіків можна використовувати паралельно рівносторонні трикутники.

Якщо ви використовуєте трикутники, це можна зробити. Можливо, не простіше, ніж Кобі ...

де Фрайсей, Оссона де Мендес і Розенштьєль. На графіках контактів трикутника. КПК 3 (2): 233-246, 1994.

Шрамм довів, що кожен планарний графік є контактним графіком деякого набору гладких опуклих об’єктів у площині у своїй докторській дисертації (Принстон, 1990), використовуючи теорему фіксованої точки Бруувера.

Приємне опитування цього та інших результатів, пов'язаних з теоремою Кобі, знаходиться в опитуванні Sachs .

$K_4$

Там в новий документ по ArXiv Дункан, Gansner, Ху, Кауфман і Kobourov на контакт графа уявлень. Вони показують, що 6 однобічних багатокутників є необхідними та достатніми. Шестикутники можуть бути опуклими, але мені під час першого читання мені було не зрозуміло, чи вони товсті.

Герд Вегнер у своїй докторській дисертації (Georg-August-Universität, Göttingen, 1967) довів, що будь-який графік є контактним графіком набору тривимірних опуклих політопів (але першому неопублікованому доказу результату він зараховує Грюнбаум). Це короткий доказ.