Попадання набір пар, що перетинаються

Набір ударів сімейства - це підмножина H of ⋃ n i = 1 S i така, що H ∩ S i ≠ ∅ при 1 ≤ i ≤ n . Проблема знайти мінімальний набір наборів для даної родини загалом є важкою, оскільки вона узагальнює проблему покриття вершин. Тепер моє питання:$\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$$H$$\bigcup_{i=1}^{n} S_i$$H \cap S_i \ne \emptyset$$1 \le i \le n$

Чи залишається проблема встановлення ударів NP-жорсткою, коли елементи попарно перетинаються?$\mathcal{S}$

Мене також цікавить приблизна твердість (або простежуваність) цієї проблеми.

Відповідь - так - проблема все ще є NP-Complete. для кожного набору створюю підроблені елементи e ′ i , e ″ i і створюю нові множини S ′ i = S i ∪ { e ′ i } і S ″ i = S i ∪ { e ″ i } . Неважко перевірити, що будь-який набір старої системи є набором нової системи. Крім того, за винятком підроблених елементів, кожен елемент наразі принаймні три набори.$S_i$$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

Далі, для кожної пари наборів у новій системі (давайте називати їх та T j, щоб уникнути плутанини), створіть підроблений елемент x i j та додайте його до T i та T j . Зрозуміло, що в отриманій системі множини всі множини попарно перетинаються, але оригінальний оптимальний набір ударів все ще є оптимальним набором для цієї новітньої системи.$T_i$$T_j$$x_{ij}$$T_i$$T_j$

Без будь-яких подальших обмежень проблема виглядає так само важко, як і початкова проблема.

До речі, доведення, що дійсно оптимальне рішення не використовувало б жодного з підроблених елементів, не є тривіальним. По-перше, ми можемо припустити, що даний набір ударів для нової системи не включає ніяких або e ″ i , оскільки в іншому випадку ми можемо перемістити елементи до початкових елементів наборів та отримати набір вражаючих розмірів подібного розміру. Трохи тонкіше зрозуміти, чому елементи x i j не знаходяться в оптимальному наборі ударів. Оскільки це нудно, я б просто залишив підказку: побудуйте графік, що з'єднує два набори S i та S j у вихідній системі, якщо x i $e_i'$$e_i''$$x_{ij}$$S_i$$S_j$$x_{ij}$з'єднує два набори, які походять від цих множин. Стверджують, що цей графік у наборі мінімальних ударів повинен бути регулярним, і як така кількість ребер у ньому суворо перевищує кількість множин, присутніх у вигляді вершин. Таким чином, можна знайти менший набір для цих наборів.$3$