Прогрес в узагальненій проблемі зірки висоти?

(Узагальнена) висота зірки мови - це мінімальне вкладення зірок Клейна, необхідних для представлення мови розширеним регулярним виразом. Нагадаємо, що розширений регулярний вираз над скінченним алфавітом задовольняє наступному: $A$

(1) і це розширені регулярні вирази для всіх $\emptyset, 1$ $a$ $a\in A$

(2) Для всіх розширених регулярних виразів ; , , та це розширені регулярні вирази $E,F$
$E\cup F$ $EF$ $E^*$ $E^c$

Одне формулювання узагальненої проблеми висоти зірки полягає в тому, чи існує алгоритм для обчислення мінімальної узагальненої висоти зірки. Щодо цієї проблеми у мене є кілька питань.

Чи був останній прогрес (або науковий інтерес) щодо цієї проблеми? Мені відомо кілька років тому, що Пін Штраубінг і Терієн опублікували деякі роботи в цій галузі.
Проблема з обмеженою висотою зірки була вирішена в 1988 році Хашигучі, але узагальнена версія (наскільки я знаю) все ще відкрита. Хтось має інтуїцію, чому це може бути так?

Посилання, яке може бути корисним, таке: зоряний зріст

fl.formal-languages lower-bounds regular-expressions

— розгублений матем
джерело

Чітке визначення поняття "розширений регулярний вираз" або посилання було б корисним. Також посилання на цитовані документи допоможуть чітко розібратися в питанні

— Suresh Venkat

@Suresh З урахуванням кінцевого алфавіту A, то розширений регулярний вираз визначається:

для кожного

це розширені регулярні вирази. Також союз, конкатенація, доповнення та зірка - це розширені регулярні вирази. В основному просто додавання доповнення. Посилання , яка може бути корисна наступна: liafa.jussieu.fr/~jep/PDF/StarHeight.pdf

\emptyset, 1, a

$\emptyset, 1, a$

a \in A

$a\in A$

— confusedmath

AFAIK, Пін постійно оновлює свою веб-сторінку ( liafa.jussieu.fr/~jep/Problemes/starheight.html ), що означає, що прогресу не буде.

— Michaël Cadilhac

дякую: ще краще було б включити це у запитання.

— Суреш Венкат

У попередніх коментарях "liafa.jussieu.fr" слід замінити на "www.liafa.univ-paris-diderot.fr". Я редагував посилання у питанні, але не зміг редагувати посилання в коментарях.

— Ж.-Є.

Відповіді:

Що стосується вашого другого запитання, пояснення, чому узагальнена проблема висоти зірки є менш доступною, ніж проблема висоти зірки, є наступною: Вже в початковому документі Еггана в 1963 році були мови (звичайної) висоти зірки , для кожного . Лише через кілька років Мак-Нофтон і, незалежно, Дежан і Шютценбергер знайшли приклади над бінарними алфавітами. Це дало зрозуміти, у чому полягає проблема. Протягом наступних років спостерігався більш-менш стабільний потік опублікованих результатів у зоні проблеми звичайної зірки. Це дало постійно зростаючу кількість опублікованих прикладів, контрприкладів та явищ, що оточують цю проблему. $k$ $k\ge 0$

На відміну від цього, після п’ятдесяти років, ми не знаємо, чи існує якась регулярна мова зірки висотою принаймні дві. Тож ми навіть не знаємо, чи є необхідність у процедурі прийняття рішень. Ця "повна відсутність прикладів" вказує на те, що вкрай важко зрозуміти цю проблему.

— Герман Грубер
джерело

Чи знаєте ви про будь-які додатки / області, на які було б безпосередньо впливати виявлення фактичного алгоритму? (за винятком суто інтелектуальної точки зору)

— заплутавсямате

0

$0$

1

$1$

Обмежена висота зірки, швидше за все, буде застосована незабаром у роботі про наближення витрат компонентів у комунікаційних системах. (ще немає вибачення)

— Денис

Ця відповідь присвячена пам’яті Януша (Іоанна) Антонія Бржозовського, який помер 24 жовтня 2019 року.

Джон, безумовно, людина, яка зробила проблеми з висотою зірки настільки відомими. Дійсно, на конференції в Санта-Барбарі в грудні 1979 р. Він представив підбірку з шести відкритих проблем щодо звичайних мов і згадав ще дві теми у висновку своєї статті [1]. Цими шістьма відкритими проблемами були: порядок, висота зірки, обмежена висота зірки, складність групи, видалення зірок, регулярність класів, що не рахуються, та оптимальність кодів префікса. Дві інші теми - проблема обмеженості та ієрархія точок глибини.

У червні 2015 року під час одноденної конференції на честь його 80-річчя я представив дві статті опитування, що підсумовують сучасний стан цих питань [2, 3]. Зокрема, ви знайдете в [2] докладну інформацію про проблеми зірки.

[1] Дж. А. Бжозовський, Відкриті проблеми щодо регулярних мов у теорії формальної мови. Перспективи та відкриті проблеми, Матеріали симпозіуму, який відбувся в Санта-Барбарі, Каліфорнія, 10-14 грудня 1979 р. [, Книга Р. В. (ред.), Стор. 23–47, Нью-Йорк і т.д. Йованович, Видавці. XIII, 454 с., 1980.

[2] Ж.-Є. Пін, Відкриті проблеми щодо звичайних мов, через 35 років , Ставрос Костянтинідіс; Нельма Морейра; Роджеріо Рейс; Джефрі Шалліт. Роль теорії в комп'ютерній науці - нариси, присвячені Янушу Бжозовському, Всесвітній науковий, 2017,

[3] Ж.-Є. Пін, Ієрархія точок глибини, через 45 років . Ставрос Костянтинідіс; Нельма Морейра; Роджеріо Рейс; Джефрі Шалліт. Роль теорії в інформатиці - нариси, присвячені Янушу Бжозовському, World Scientific, 2017.

— Ж.-Є. Шпилька
джерело

Дякую, що поділився цим - я щойно дізнався з вашої відповіді, що він помер.

— Герман Грубер

Рішення обмеженої проблеми зіркової висоти надихнуло багату теорію функцій регулярних витрат (від Colcombet), яка, в свою чергу, допомогла вирішити інші проблеми вирішення та запропонувала нові інструменти для атаки на відкриті проблеми. Ця теорія все ще розвивається і поширюється на нескінченні слова, кінцеві дерева, нескінченні дерева, зі своїм набором глибоких результатів та відкритих проблем. Ось нарічний документ з теорії та бібліографія з веб-сайту Colcombet.

Тож, хоча це не є безпосередньо застосуванням узагальненої зоряної висоти, це показує, що прогрес у начебто непотрібних проблемах, таких як висота зірки, може означати краще розуміння звичайних мов та дати нові результати щодо різних проблем.

Довідка: Томас Колкомбет. «Теорія стабілізаційних моноїдів та функції регулярних витрат». В: ICALP 2009

— Денис
джерело