Зв'язок між машиною Тьюрінга та обчисленням лямбда?

49

Чи існує зв’язок між машиною Тюрінга і обчисленням лямбда - чи вони просто виникали приблизно в один і той же час?

computability lambda-calculus turing-machines

— хокі
джерело

7

Чи можете ви розробити своє запитання? Обидві моделі мають однакову обчислювальну силу (обидві здатні виражати сімейство рекурсивних функцій), тобто вони закінчують Тьюрінга. Дивіться: en.wikipedia.org/wiki/Turing_completeness

— Джоель Рибицький,

пов'язане: Теорія реалізаційності: різниця у потужності між обчисленням Лямбда та машинами Тюрінга

— Каве

Це приємне запитання!

— Tayfun Pay

31

Обчислення лямбда є старшим за модель машини Тьюрінга, очевидно, що датується періодом 1928-1929 рр. (Seldin 2006), і було винайдено, щоб узагальнити поняття схематичної функції, необхідної Церкві для основоположної логіки, яку він створив. Він не був винайдений для того, щоб зафіксувати загальне поняття обчислювальної функції, і справді слабша набрана версія могла б служити його цілям краще.

Здається, це не випадково з метою того, що винайдена Церква числення, виявилася Тюрінг повною, хоча пізніше Церква використовувала обчислення лямбда як основу для того, що він називав ефективно обчислюваними функціями (1936), до яких звертався Тьюрінг у своїй роботі .

Проста церковна теорія типів (1940) передбачає більш помірковану, типова теорію функцій, яка достатньо для вираження синтаксису логіки вищого порядку, але не виражає всіх рекурсивних функцій. Цю теорію можна зрозуміти як більшу гармонію з оригінальною мотивацією Церкви.

Список літератури

Церква (1936). Нерозв'язна проблема в теорії елементарних чисел. Американський журнал математики 58: 345—363.
Церква (1940). Постановка простої теорії типів . Журнал символічної логіки 5 (2): 56—68.
Селдін (2006). Логіка Каррі та Церкви . У Підручнику з історії логіки, т.5: Логіка від Рассела до Церкви , с. 819—874. Північна Голландія: Амстердам.

Примітка Ця відповідь суттєво переглядається через заперечення Каве і Сашо. Я рекомендую хронологію Вікіпедії, яку запропонував Каве, тезу "Історія Церкви - Тюрінг" , яка містить певні цитати з назви статей.

— Чарльз Стюарт
джерело

2

Церква висловила твердження, що обчислення лямбда фіксує інтуїтивне позначення обчислювальної функції перед роботою Тьюрінга, тому її називають тезою Церкви. Ідея захоплення загального поняття обчислювальних функцій відходить далі (наприклад, загальні рекурсивні функції Годеля), і Церква намагалася його захопити.

— Каве

5

Я вважаю, що сказати, що еквівалентність моделей - це повна випадковість, вводить в оману. Мені здається, що Церква і Тьюрінг ставили за мету охопити споріднені поняття, навіть якщо не відразу було очевидно, що поняття насправді пов'язані. Ви б сказали, що "повна випадковість" інтеграції Рімана та антидиференціації тісно пов'язані?

— Сашо Ніколов

@Kaveh: За словами Селдіна (2006) Логіка Церкви та Каррі , цілі та синтаксис обчислення лямбда були розроблені в період 1928-1929, задовго до того, як Церква усвідомлювала загальне поняття рекурсивної функції. Моя відповідь отримала б користь від часової шкали, але я зараз не маю часу зібрати це.

— Чарльз Стюарт

1

@Charles: Церква була в Геттінгені 1927-1928. Він напевно знав, що відбувається з приводу теорії рекурсивної функції та програми Гільберта. Результат Акерманна щодо непримітивної рекурсивної функції - з того ж року. Церква намагалася побудувати фундамент для математики. Все це сталося ще до папери Тьюрінга. Дивіться це . Клійн довів еквівалентність загальних рекурсивних функцій та функції перед роботою Тьюрінга. Ваш останній абзац вводить в оману, оскільки створює відчуття, що вони були

λ

$\lambda$

— Kaveh

1

@Charles, як я писав, я погоджуюся, що початковою мотивацією Церкви було побудувати фундамент (щось на зразок системи Фреге) (AFAIK), але він також розглядав це як модель обчислень до роботи Тьюрінга. Я не думаю, що відповідь не потрібно видаляти, перегляд другого абзацу має зробити це добре. (я коментую те, що я відчуваю, що останнім часом люди недооцінюють роботу Церкви з розрахунком.)

— Kaveh

26

Я просто хотів би зазначити, що, хоча обчислення лямбда та машини Тюрінга обидва обчислюють один і той же клас числово-теоретичних функцій, вони не є точно рівнозначними в усіх відношеннях. Наприклад, у теорії реалізації є твердження, які можуть бути реалізовані машиною Тьюрінга, але не методом лямбда-числення. Одним із таких тверджень є формальна теза Церкви, в якій сказано:

\forall f : n a t \to n a t \exists e \forall n \exists k (T (e, n, k) \land U (k, f (n)))

$\forall f : \mathbf{nat} \to \mathbf{nat} \ \exists e \ \forall n \ \exists k \ \big( \mathbf{T}(e, n, k) \land \mathbf{U}(k,f(n)) \big)$

Тут - присудок Клейна . Реалізатором цього твердження буде програма яка приймає (представлення) карти і виводить (подання) з потрібним властивістю. У моделі машини Тьюрінга карта представлена кодом машини Тьюрінга, яка обчислює , тому програма є просто (кодом машинного обчислення Тьюрінга) функцією ідентичності. Однак, якщо ми використовуємо обчислення лямбда, то передбачається обчислити число, що представляє собою машину Тюрінга, із терміна лямбда, що представляє функцію $\mathbf{T}$ $c$ $f$ $e$ $f$ $f$ $c$ $c$ $f$ . Це неможливо зробити (я можу пояснити, чому, якщо ви ставите це окремим питанням).

— Андрій Бауер
джерело

4

У нас є розмітка в даний час.

T_{E} X

$T_EX$

— Андрас Саламон

Андрій, стаття у Вікіпедії використовує різний порядок параметрів, які ви використовуєте, другий аргумент - це вхід, а третій - код зупинки обчислень, перший аргумент - код машини. Я думаю, ви констатуєте CT, я редагував його на основі vDT88.

— Каве

Ще одне, здається, що для реалізації ви даєте як код TM і очікуєте -терміну, але чи не було б більш природним дати також як -term, і тоді функція ідентичності працювала б ? (Я можу задати це як окреме запитання, якщо ви віддаєте перевагу.)

f

$f$

λ

$\lambda$

f

$f$

λ

$\lambda$

— Каве

@Kaveh: Я думаю, що це було навпаки, але мені також цікаво, чому не природно також мати вихід такого ж типу, як і вхід у випадку обчислення лямбда.

— Абель Моліна

1

Чи буде щось на зразок реалізатора для твердження "кожен є безперервним"? А як щодо реалізатора для "простору Кантора та простору Байєра є гомеоморфними"?

f : R \to R

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

N^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N}$

— Андрій Бауер

11

Вони пов'язані як математично, так і історично.

Обчислення лямбда було розроблено в 1928 - 1929 роках Церквою Алонцо (опубліковано в 1932 р.).

Машина Тьюрінга була розроблена в 1935 - 1937 роках Аланом Тьюрінгом (опублікована в 1937 році).

Алан Тьюрінг був доктором церкви Алонцо. студент у Принстоні з 1936 - 1938 років.

Машини Тьюрінга та обчислення лямбда є еквівалентними в обчислювальній потужності: кожен може ефективно імітувати інший.

— Метт Мог
джерело

6

Проблема Entscheidungsproblem - одна з відомих 23 проблем, запропонованих математиком Девідом Гільбертом.

У 1936 та 1937 роках відповідно Церква Алонцо та Алан Тьюрінг опублікували незалежні документи, в яких видно, що не можна алгоритмічно визначити, чи є твердження в арифметиці правдивими чи неправдивими, і, отже, загальне рішення проблеми Енштайдунгс не є можливим.

Це зробила Церква Алонцо в 1936 році з концепцією "ефективної підрахунку", заснованої на його обчисленні λ, і в тому ж році з концепцією машин Тьюрінга Аланом Тьюрінгом. Пізніше було визнано, що це еквівалентні моделі обчислення. - Вікіпедія

Отже, обчислення лямбда та машини Тюрінга не просто тісно пов'язані, але вони є рівнозначними моделями обчислення .

Можливо, вам також сподобається, що читайте «Анотований тюрінг»: екскурсія по історичній книзі Алана Тьюрінга про обчислюваність та машину Тюрінга від Чарльза Петцольда . У цій книзі зібрано приблизно цікаву інформацію з даної теми.

— Pratik Deoghare
джерело

4

Машини Тьюрінга та обчислення Лямбда - це дві моделі, що фіксують поняття алгоритму (механічне обчислення). Числення лямбда було винайдено Церквою для виконання обчислень з функціями. Він є основою функціональних мов програмування. В основному, кожна проблема, яку можна обчислити (вирішувати) машинами Тьюрінга, також обчислюється за допомогою обчислення Ламбди. Отже, це дві еквівалентні моделі обчислення (аж до поліноміальних факторів), і обидві намагаються захопити силу будь-яких механічних обчислень.

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело