Зменшення розмірності з млявим?

Лема Джонсона-Лінденстрауса приблизно говорить, що для будь-якого зібрання з n точок в R d існує карта f : R d → R k, де k = O ( log n / ϵ 2 ), така що для всіх x , y ∈ S : ( 1 - ϵ ) | | f ( x ) - f ( y ) | | $S$$n$$\mathbb{R}^d$$f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^k$$k = O(\log n/\epsilon^2)$$x, y \in S$ Відомо, що подібні твердження неможливі дляметрики ℓ 1 , але чи відомо, чи є якийсь спосіб обійти такі нижчі межі, пропонуючи більш слабкі гарантії? Наприклад, чи може бути версія вищевказаної леми для ℓ

$$(1-\epsilon)||f(x)-f(y)||_2 \leq ||x-y||_2 \leq (1+\epsilon)||f(x)-f(y)||_2$$ $\ell_1$$\ell_1$метрика, яка лише обіцяє збереження відстаней більшості точок, але може залишити деякі довільно спотвореними? Той, який не дає мультиплікативної гарантії для "занадто близьких" балів?

Стандартним еталоном для такого позитивного результату є праця Петра Індика про стабільні розподіли:

http://people.csail.mit.edu/indyk/st-fin.ps

Він показує техніку зменшення розмірів для де відстань між будь-якою парою точок не збільшується (більш ніж на коефіцієнт 1 + ϵ ) з постійною ймовірністю, а відстані не зменшуються (більш ніж на коефіцієнт 1 - ϵ ) з великою ймовірністю. Розмір вбудовування буде експоненціальним в 1 / ϵ .$\ell_1$$1+\epsilon$$1-\epsilon$$1/\epsilon$

Ймовірно, є подальші роботи, про які я не знаю.

Див. Документ " Вкладиші з метрикою" з розслабленими гарантіями, який дає результати за (за умов "витонченого погіршення спотворення") та загальні вкладення " ℓ p" .$\ell_1$$\ell_p$

Також дивіться практичні процедури зменшення розмірів у документі.$\ell_1$

Нещодавно Ньюмен та Рабінович показали, що для n точок у існує зменшення розмірності до розмірності O ( n / ϵ ) . Використовуючи теорему Авраама та ін. (Метричне вбудовування з розслабленими гарантіями, згаданими вище) можна отримати зменшення розмірності розмірності O ( 1 / ( δ ϵ ) ), яка працює для 1 - $\ell_1$$O(n/\epsilon)$$O(1/(\delta\epsilon))$$1-\delta$ частки пар.

Інший релаксації скорочення розмірності є вимога , що S лежить в гр мірне підпростір R D і зробити до залежить від гр . Талагран довів , що дано гр - мірне підпростір V у л д 1 (він навіть доводить це для L 1 ), існує відображення п : л д 1 → л до 1 для до = O ( ε - 2$\ell_1$$S$$c$$\mathbb{R}^d$$k$$c$$c$$V$$\ell_1^d$$L_1$$f:\ell_1^d \rightarrow \ell_1^k$ такий, що для всіх x , y ∈ V , ( 1 - ϵ ) ‖ f ( x ) - f ( y ) ‖ 1 ≤ ‖ x - y ‖ 1 ≤ ( 1 + ϵ ) ‖ f ( x ) - f ( у ) ‖ $k = O(\epsilon^{-2}c\log c)$$x, y \in V$$(1-\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1 \leq \|x - y\|_1 \leq (1+\epsilon)\|f(x) - f(y)\|_1$. Його вбудовування є простою рандомізованою процедурою, але вона проходить поетапно і кожен крок вдається з постійною ймовірністю; після кожного кроку потрібно перевірити, чи дійсно крок був успішним, і повторити, якщо він не відбувся. Тому вкладення Talagrand не має вирішальної особливості JLT: той факт, що можна вибрати з розподілу, незалежного від $f$$S$ .

$f$$S$$k \times d$