Розчинність заповнення матриці

Матриця має розмірність n × n ( n - 1 ) . Ми хочемо заповнити A за допомогою цілих чисел від 1 до n включно.$A$$n \times n(n-1)$$A$$1$$n$

Вимоги:

1. Кожен стовпець - перестановка 1 , … , n .$A$$1, \dots, n$
2. Будь-яка підматриця, утворена двома рядками не може мати однакових стовпців.$A$

Питання:

Чи можливо заповнити матрицю, що задовольняє вимогам?

Відношення до криптографії:

Кожен номер рядка відповідає простому тексту. Кожен стовпець відповідає ключу. Оскільки ключ визначає ін'єкцію, кожен стовпець повинен бути перестановкою. Друга вимога полягає в ідеальній таємниці двох повідомлень.

Цуйосі, чудове спостереження у вашому коментарі! Я думаю, що це майже вирішує проблему.

Розглянемо наступні два питання

1. Чи існує рядків довжиною n ( n - 1 ), щоб жодне число не з’являлося двічі в жодному стовпці, і для кожної пари рядків усі впорядковані пари, задані стовпцями, є чіткими?$k$$n(n-1)$
2. Чи існують рядків довжиною n 2, щоб для кожної пари рядків усі впорядковані пари, задані стовпцями, були виразними?$k$$n^2$

Спостереження Цюсі в його коментарі показує, що якщо ви можете досягти деякого значення для питання (1), ви можете досягти такого ж значення k для питання (2). Тепер ми покажемо, що якщо ми можемо досягти деякого значення k для питання (2), ми можемо досягти значення k - 1 для питання (1). Таким чином, відповідь на ці два питання майже однакова.$k$$k$$k$$k-1$

Побудова йде наступним чином: ігноруйте перший рядок, за винятком того, що поставте всі в перші n позиції. Тепер ви можете застосувати перестановку значень { 1 , 2 , … , n } до кожного з k - 1 решти, що залишилися, так що, крім першого запису, кожен з перших n стовпців містить однакові значення та за спостереженням Цуйоші у коментарі це дає набір k - 1 рядків, що задовольняють вашій умові.$1$$n$$\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$$k-1$$n$$k-1$

Тепер, якщо у вас є набір рядків довжиною n 2 з кожною парою рядків, що містять усі впорядковані пари в кожному стовпчику, то це еквівалентно набору k - 2 ортогональних латинських квадратів . Кожен із рядків 3 , 4 , … , k дає латинський квадрат. Щоб отримати латинський квадрат, пов'язаний з рядком j , введіть значення в i -й стовпець рядка j у комірці, координати якої задані впорядкованою парою в i -му стовпці в перших двох рядках.$k$$n^2$$k-2$ $3$$4$$\ldots$$k$$j$$i$$j$$i$

Якщо не є первинною силою, скільки взаємно ортогональних латинських квадратів порядку n є відомою відкритою проблемою, і я не вірю, що відомо, що n - 2 ортогональних латинських квадратів існують для n, а не першої сили; загальний консенсус полягає в тому, що таких множин не існує. Єдиний доведений на сьогодні результат - такий набір не існує для n = 6 . Відомо, що число k можливих рядків зростає принаймні як k = Ω ( n c ) для деякого $n$$n$$n-2$$n$$n=6$$k$$k=\Omega(n^c)$$c$. Я вважаю, чи існує 8 ортогональних латинських квадратів порядку 10, як і раніше. (Відомо, що їх немає 9, але через можливу різницю у відповіді на два питання це нічого не говорить про початкову проблему.)$1$

Для максимальний k, який ви можете отримати, дорівнює 3, і виявляється, ви можете отримати три рядки для задачі (1), подивившись будь-який латинський квадрат 6 × 6 з поперечним переліком, з яких є безліч нееквівалентних прикладів . Для n = 10 відомі конструкції, що дають два ортогональних латинських квадратів. Якщо ці квадрати мають спільний поперечний перехід, то для задачі (1) можна отримати k = 4 .$n=6$$k$$6\times 6$$n=10$$k=4$

Це часткове рішення. Така матриця існує, якщо n є простою силою.

Нехай F - кінцеве поле порядку n . Ми побудуємо матрицю n × n ( n −1), рядки якої позначені F , стовпці яких позначені ( F ∖ {0}) × F , а записи яких у F - наступним чином: i -й рядок стовпчик із позначкою ( a , b ) задається ai + b . На словах, кожен стовпець відповідає ступеню полінома-один в F . Потім кожен стовпчик містить кожен елемент F точно один раз, і жоден два стовпці не мають однакових записів у більш ніж одному рядку, оскільки значення двох різних ступенів-многочленів ступеня можуть збігатися щонайменше в одній точці.

(Якщо ви хочете, щоб матриця, записи якої знаходяться в {1,…, n } замість F , замініть елементи F на {1,…, n } довільно.)