Приклади, коли розуміння геометрії було корисним для вирішення чогось зовсім негеометричного

Однією з приємних речей, що розвивалися у Всесвіті з трьома просторовими вимірами, є те, що ми виробили навички вирішення проблем, що стосуються об’єктів у просторі. Так, наприклад, ми можемо думати про трійку чисел як точку в 3-d, а значить, обчислення по трійках чисел як обчислення про точки в 3-d, які потім можна вирішити, використовуючи нашу інтуїцію про простір. Це, мабуть, наводить на думку про те, що часом можна мати можливість вирішити абсолютно негеометричну задачу, використовуючи прийоми з геометрії. Хтось знає такі приклади?

Звичайно, терміни "геометричний" і "негеометричний" тут трохи розпливчасті. Можна стверджувати, що будь-яка геометрична задача насправді негеометрична, якщо замінити всі точки їх координатами. Але інтуїтивно, визначення зрозуміле. Скажімо, що ми називаємо щось геометричне, якби ми розглядали можливість надсилання документа про це в SoCG.

Ще кілька прикладів:

Sleator, Thurston і Tarjan використовували геометричне зображення дерев як перегородок полігонів та гіперболічну геометрію, щоб довести нижню межу повороту бінарних дерев . (Також я вважаю, що історія динамічного дерева бінарного пошуку може бути представлена ​​як тетраедралізація.)

Зменшення найменш поширеного предка до діапазону мінімальних запитів , пов’язане з Беркманом та Вишкіним, пов’язує проблему структури даних про дерева з аргументовано геометричною проблемою. (і спасибі за статтю Девіда)

Зменшення проблеми планування до максимальної вагової безлічі прямокутних прямокутників [1] або зменшення іншої задачі планування до геометричної кришки множини [2] може кваліфікуватися.

Загальновідома проблема зведення найбільшої загальної проблеми підрядності до пошуку шарів максимумів (це означає, що я лінивий шукати, хто насправді про це думав).

[1] (Ліан Левін-Ейтан, Джозеф Сеффі Наор та Аріель Орда)

[2] Нікхіл Бансал, Кірк Прухс. Геометрія планування, FOCS 2010.

[пізніше редагувати] Ще кілька випадків, коли "геометричний" погляд здавався дивовижним (хоча "подання в SoCG" або "щось робить для візуалізації" стандарти, ймовірно, не виконані):

алгебраїчна топологія, застосована до нижньої межі для розподілених обчислень

включення обчислюваності у вимір Хаусдорфа

визначення поняття відстані для груп, то об'єм, потім зростання об'єму як функція відстані, то використання "поліноміального зростання"

$\ell_1$

Вони були згадані десь ще, але мені подобається такий приклад: сортування з частковою інформацією - це проблема пошуку фіксованого невідомого лінійного розширення групи, заданого набору та використання кількості запитів порівняння, максимально наближених до теоретичної інформації нижня межа (це лише сортування, коли кількість порівнянь є критичною мірою складності, а деякі порівняння даються безкоштовно). Існування оптимальних (до постійної) стратегій порівняння було доведено Саксом і Кан, використовуючи властивості політопа порядку, спеціального багатогранника, пов'язаного з позетом (ви можете знайти чудову експозицію в книзі Лекцій Матушека про дискретну геометрію). Перший алгоритм за поліноміальний час (за Кан та Кімом), що обчислює оптимальну (до постійної) стратегію порівняння, знову використовували властивості політопу порядку, а також стабільний заданий політоп графіку незрівнянності вхідної групи.

Існує порівняно недавній документ від Demaine et al, який використовує геометричне зображення бінарних дерев пошуку, щоб просунути сучасний стан щодо динамічної оптимальності. Я тут трохи розпливчастий, тому що вони не вирішують гіпотези DO: але вони зміцнюють деякі межі і дають нові розуміння, які, як видається, виходять з геометричної формулювання.

Я не думаю, що є приклади таких речей. За винятком лінійного програмування, напіввизначеного програмування, складних чисел, великих фракцій машинного навчання тощо. Справжнє питання - http://www.youtube.com/watch?v=ExWfh6sGyso .

Минулого року на POPL з'явився чудовий документ, EigenCFA: прискорення аналізу потоку з графічними процесорами , який представляв лямбда-терміни як матриці, а потім використовував графічні процесори для швидкого виконання аналізу потоків даних на них.

У цьому документі це не було чітко зазначено, але те, що вони в основному робили, - це використовувати категоричну структуру векторних просторів для зображення дерев. Тобто у звичайній теорії множин дерево (певної фіксованої висоти) є вкладеним розрізненим об'єднанням декартових виробів.

Однак у векторних просторах є також прямі продукти та суми, тому ви можете представляти дерево як елемент відповідного векторного простору. Більше того, прямі добутки та прямі суми збігаються для векторних просторів - тобто вони мають однакове представлення. Це відкриває двері до паралельних реалізацій: оскільки фізичні уявлення однакові, багато розгалуження та переслідування за вказівниками можна усунути.

Це також пояснює, чому аналіз потоку даних є кубічним часом: це обчислення власних векторів!

У мережах маршрутизатори використовують TCAM (потрійні пам’ятки, адресовані вмістом - іншими словами, пам'ять, адресована вмістом, без біта) для класифікації трафіку. Записи в TCAM часто є багатовимірними правилами відповідності префіксів: наприклад, (101 *, 11 *, 0 *) відповідає будь-якому пакету, де перше поле заголовка починається з 101, а друге поле заголовка починається з 11 (і т.д.) Якщо пакет не відповідає першому правилу, він переходить до другого і так далі, поки не буде знайдено відповідне правило.

$d$$R^{d+1}$$d+1$$R^{d+1}$$d$$d+1$

Для людей, що працюють в мережі, це тлумачення корисно для розуміння того, що робить конкретний набір правил. Для теоретиків є й інші цікаві способи використання. Відповідно до алгоритмів класифікації пакетів Гупта та МакКауна, геометрична інтерпретація дозволила нам швидко встановити нижню та верхню межі для проблеми класифікації пакетів. Я знаю, що робота над мінімізацією правил TCAM (пошук найменшої кількості правил, що зберігає семантику) також отримала користь від геометричного підходу. Я можу надати багато посилань на це, але той, який, можливо, буде вам найбільше корисний, - це документ Applegate, співавтор SODA 2007, що стискає прямолінійні зображення та мінімізує списки контролю доступу. Вони доводять, що мінімізація більш загального варіанту вищезгаданих правил префіксу є NP-жорсткою, і з'єднують її (знову ж таки) з гарними зображеннями прямокутників, щоб вирішити проблему!

Я здивований, що ніхто не сказав евклідового алгоритму для знаходження найбільшого спільного множника між двома числами. Ви можете впоратися з проблемою, намалювавши прямокутник axb, потім поділіть прямокутник на квадрат, створений найменшою стороною, повторіть для прямокутника, що залишився, повторюйте для прямокутників, що залишилися, доки не знайдете квадрат, на який можна рівномірно розділити залишився прямокутник (див. анімований gif на сторінці евклідового алгоритму).

Досить елегантний спосіб спробувати зрозуміти, як річ працює, ІМО.

Напевно, є занадто багато прикладів для переліку, але один класичний приклад (він виділений Ейгнером і Циглером як « Доказ з книги ») - це використання Ловашем геометричного зображення для вирішення проблеми в якості Шеннона. Хоча доказ був опублікований у 1979 році та вирішив відкрите питання з 1956 року, це залишається сучасним.

Співвідношення кодів виправлення помилок з гратами, упаковкою сфери тощо (наприклад, книга Conway та Sloane). І все-таки це відношення настільки сильне, що не зовсім зрозуміло, чи слід після цього називати коди виправлення помилок «повністю не геометричними» ...

Методи скорочення решітки, такі як LLL або PSLQ , є високо геометричними і вирішують задачі теорії чистих чисел, такі як лінійне наближення Діофантіна та виявлення цілих відношень.

$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$

Джерард Салтон придумав цю ідею використовувати косинус кута між векторами (косинусна подібність) для систем пошуку інформації. Це було використано для обчислення терміна частота - обернена частота документа. Я вважаю це попередником сучасних пошукових систем. Дивіться також векторну космічну модель.

$k$$k$

Звичайно, доказ скоріше топологічний, ніж геометричний, але в низькому вимірі він має чітку геометричну картину. Наскільки мені відомо, не існує суто комбінаторних доказів (тобто доказів, які ви можете пояснити людині, яка відмовляється чути що-небудь про топологію).

Роль кривих заповнення простору в базах даних та оптимізації: http://people.csail.mit.edu/jaffer/Geometry/MDSFC

Мабуть, підтримує векторну машину в машинному навчанні.

Існують методи обчислювальної геометрії для вирішення лінійного програмування. Обчислювальна геометрія: про алгоритми та програми є приємна і проста глава про це.

Визначений інтеграл від функції може бути представлений в вигляді підписаної площі області , обмеженою її графіком.