Еквівалентність двох визначень повноти та надійності в інтерактивних системах підтвердження

Повнота та надійність в інтерактивних системах доказування неофіційно визначаються як:

Повнота: Якщо твердження відповідає дійсності, чесний доказчик може переконати чесного перевіритиля цього факту whp .
Звучність: Якщо твердження неправдиве, доказ обману не може переконати чесного перевірявача (у дійсності помилкового твердження) whp

Термін "whp" або трактується як "з вірогідністю, що перевищує (скажімо) 2/3", або "з ймовірністю, більшою, ніж зворотний будь-який многочлен". Наступне обговорення видається несуттєвим, як інтерпретацію "whp" вибрати.

Складна частина полягає в тому, як обчислюється ймовірність: В деяких джерелах ймовірність приймається за випадкові монети як довідника, так і верифікатора. В інших джерелах ймовірність обчислюється лише за випадковими монетами верифікатора. Останнє, як правило, виправдовується так: "якими б не були випадкові монети докази, верифікатор приймає правильне рішення".

Мені обидва визначення ймовірності здаються рівнозначними; але я не можу цього довести. Чи правий я? Чи можете ви довести їх рівнозначними?

cc.complexity-theory interactive-proofs

— Неймовірно
джерело

Ви також повинні врахувати, якщо ви маєте на увазі "державні" монети або "приватні" монети. У налаштуваннях публічної монети і довідник, і перевіряючий знають результати випадкового вибору, а для приватних монет доказчик не знає випадкових варіантів перевірки. В останньому випадку вам цікаво лише те, що робить перевіряючий, не дивлячись на доказ, тому що довідник просто не знає випадкових кидків монет.

— Marcos Villagra

@Marcos: Погляньте на оригінальне визначення інтерактивних доказів, що є "приватною" монетою в природі. В останньому реченні першого стовпця на сторінці 293, яке підкреслено, зазначається, що "ймовірності приймаються лише над власними киданнями монети". (Ось, B - верифікатор.) З іншого боку, журнальна версія згаданого документу дозволяє вірогідність перейняти монети кидок обох сторін. Це може бути джерелом плутанини, правда?

— МС Дусті

@Sadeq: Я бачу, я не знав про різницю між версією журналу та конференції. Тим не менш, для приватних монет я не бачу сенсу брати до уваги підкидання монет, оскільки він міг вирішити не розповідати про це перевіряючому. Верифікатор - це той, хто відповідає за прийняття чи відхилення, і він може не знати, що робить доказчик.

— Маркос Віллагра

@Marcos: Ви маєте рацію, але те ж міркування стосується доказів публічної монети; оскільки в цих системах доказові викиди монети досі залишаються приватними (лише монети верифікатора є загальнодоступними). Загалом, можна вважати детермінований доказ: Оскільки доказчик всесильний, він не потребує випадковості і може вибирати оптимальну відповідь детерміновано. Але цей тип міркувань не працює, якщо ми розглядаємо системи з нульовим знанням, в яких стратегія дослідника повинна бути імовірною (інакше його знання просочуються).

— М. С. Дусті

(Проти) Якщо докази рандомізовані, то я думаю, що правильна формулювання полягає в обчисленні ймовірності як за монети, так і для перевірки: Хоча, як сказав Маркос, верифікатор відповідає за остаточне рішення, її рішення - зроблені (серед інших) на основі повідомлень, що надходять від доказів. Зважаючи на той факт, що доказ є рандомізованим, його кидання монети безумовно впливає на повідомлення, які він надсилає. Тому кидання монети провера впливає на ймовірність прийняття. Я правий?

— МС Дусті

Доказ «всесильний і має необмежені обчислювальні ресурси», тому він не потребує випадкових бітів. Таким чином, єдиною випадковістю є випадковість верифікатора.

Якщо довідник використовує випадкові біти, він повинен замінити їх випадковим бітовим рядком, який, швидше за все, змусить перевірити перевірку (це справедливо як для чесного, так і для будь-якого нечесного доказчика). Крім того, доказ може визначити цей оптимальний бітовий рядок, оскільки доказ "всесильний".

— Тайсон Вільямс
джерело

Як я вже говорив у коментарі вище, це справедливо лише тоді, коли ви розглядаєте лише інтерактивні докази. Однак, речі дуже відрізняються, якщо врахувати інші властивості, наприклад, "нульове знання", яке, природно, пов'язане з інтерактивними доказами.

— М. С. Дусті

Проти: Конкретно: Орен довів наступне: "... згідно допоміжного введення визначення нульових знань, випадковість докази є важливою для нетривіальності систем підтвердження нульових знань. Іншими словами, будь-яка мова яка має допоміжну систему введення нульових знань, у якій доказ визначається BPP ". (Для отримання додаткової інформації див. Розділ 4.5 Oren .) Тому ви не завжди можете припустити, що P є детермінованим.

— М. С. Дусті