Складність топологічних властивостей.

Я є вченим-комп’ютером, який курсує з топології (розсипання топологічної заданої точки, сильно приправленої теорією континууму). Мене зацікавили проблеми вирішення, перевіряючи опис простору (за простостями) для топологічних властивостей; ті, що збереглися до гомеоморфізму.

Відомо, наприклад, що визначення роду вузла є в PSPACE і є NP-Hard. (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999)

Інші результати мають ще більш загальне відчуття: А. А. Маркова (син з Марковим) показав в 1958 році , що тестування двох просторів Гомеоморфія в розмірах $5$ або вище нерозв'язне (показуючи нерозв'язність для 4-різноманіть). На жаль, цей останній приклад не є ідеальним прикладом мого питання, оскільки він стосується самої проблеми гомеоморфії, а не властивостей, збережених при гомеоморфізмі.

Здається, велика кількість робіт з "топології низьких розмірів": теорія вузлів та графіків. Мені, безумовно, цікаві результати низькомірної топології, але мене більше цікавлять узагальнені результати (вони здаються рідкісними).

Мене найбільше цікавлять проблеми, які в середньому є NP-Hard, але мені подобається перераховувати проблеми, які, як відомо, не так.

Які результати відомі щодо складності обчислень топологічних властивостей?

Обчислювальна топологія охоплює величезну кількість досліджень. Повний підсумок кожного результату складності був би неможливим. Але щоб дати вам невеликий смак, дозвольте мені розширити ваш приклад.

У 1911 році Макс Ден позував $O(n)$

У 1950 році Тьюрінг довів, що проблема слова в кінцево представлених напівгрупах не можна визначити, зменшуючи від проблеми зупинки (здивування, здивування).

Спираючись на результат Тьюрінга, Марков довів у 1951 році, що кожна нетривіальна властивість кінцево представлених напівгруп не може бути визнана. Властивість груп нетривіальна, якщо якась група має властивість, а інша - ні. Теоретичним комп’ютерам відомо аналогічний результат щодо часткових функцій, як "Теорема Райса".

У 1952 р. Новіков довів, що проблема слів у кінцево представлених групах не визначена, тим самим довівши, що інтуїція Дена була правильною. Цей же результат незалежно довели Бун у 1954 році та Бріттон у 1958 році.

У 1955 році Адіан довів, що кожне нетривіальне властивість кінцево представлених груп не можна визначити. Цей же результат був доведений незалежно від Рабіна в 1956 р. (Так, це Рабін.)

Нарешті, у 1958 р. Марков описав алгоритми побудови двовимірних клітинних комплексів та 4-мірних багатообразів з будь-якою бажаною фундаментальною групою, враховуючи представлення групи як вихідний. Цей результат одразу мав на увазі, що величезна кількість топологічних проблем не можна вирішити, включаючи наступні:

• Чи можна заданий цикл у заданому двовимірному комплексі скорочувати? (Це проблема слова.)
• Даний 2-комплекс просто пов'язаний? ("Ця група тривіальна?")
• Чи може бути заданий цикл у заданому 4-багатогранному скоротливому?
• Чи можна скористатися заданим 4-колектором?
• Чи заданий 4-багатоплановий гомеоморфний певному 4-багатогранному (побудованому Марковим)?
• Чи заданий 5-багаторазовий гомеоморфний 5-сфері (або будь-який інший фіксований 5-колектор, який ви обрали)?
• Чи є заданий 6-комплекс багатообразним?

$G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$ є 3-багатогранною групою, ви могли б вирішити, чи$G$

Ryan Budney розпочав подібні дискусії на MathOverFlow:

/mathpro/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

/mathpro/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

та у Вікіпедії:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology