Чи діагоналізація відображає суть розділеності класів?

11

Я не пам'ятаю, як бачив поділ класів, який не базувався на результатах діагоналізації та релятивізації. Діагоналізація все ще може бути використана для відокремлення залишилися відомих класів, оскільки нерелятивізуючі аргументи все ще можуть використовуватися у висновку діагоналізації або в діагоналізованій конструкції машини Тьюрінга. Ось кілька пов'язаних питань:

Чи існують докази поділу класів, які не ґрунтуються на діагоналізації?

І якщо так

Чи можемо ми знайти механізм самонавіювання за ними?

Далі,

чи кожне розділення класів має «канонічний природний» доказ (у неофіційному розумінні)?

Якщо це так, нам слід спробувати знайти нерелятивізуючі аргументи, а не інші схеми доказів для відкритих питань.

Чи можна кожен недіагональний доказ переписати на діагональний?

— Людовик Патей
джерело

Я відредагував питання, щоб спробувати полегшити його читання. Вибачте, якщо я змінив ваш намір.

— Андраш Саламон

@ András Дякую за ваше видання. Мені часто незрозуміло. Є одна зміна: я мав на увазі, що діагоналізація не пройшла, тому що всередині неї ми можемо використовувати нерелятивізуючі аргументи. Я думаю, що релятивізація та діагоналізація є ортогональними. І я не вважаю, що докази, які не використовують діагоналізацію, використовували б глибокий механізм самонаправлення, але лише в тому, що в глибокому розумінні доказу ми могли б виявити неглибокий механізм самопосилання ^^. Я перегляну ці конкретні моменти.

— Людовик Патей

Деякі пов'язані пости: докази, бар'єри та P проти NP , чи підтверджують докази того, що постійний не є рівномірним

?

T C^{0}

$TC^0$ , в результаті чого теорія складності істотно використовує однаковість?

— Каве

15

Залежить від того, як ви формалізуєте діагоналізацію. У Козена є документ, який показує, що будь-яке розділення класів складності повинно бути підтвердженням діагоналізації.

— Ленс Фортнов
джерело

+1 Я думаю, що я прочитав це у вашому блозі, і я чекав вашої відповіді :)

— Мохаммед Аль-Туркстані

5

Оскільки діагоналізація релятивізується, будь-який результат складності, що передбачає суперечливі релятивізації, не може базуватися на діагоналізації. Цитуючи Арору-Барак :

Результати виявилися виключно з допомогою диагонализации релятівізіровать в тому сенсі , що вони справедливі і для ТМ з доступом до оракула для будь-якого оракула . Ми можемо використовувати це, щоб показати обмеження таких методів. Зокрема, методи релятивізації поодинці не можуть вирішити питання P проти NP. $O$ $O \subseteq \{0, 1\}^*$

Однією з основних методик розділення, яка не релятизується, є доведення нижньої межі ланцюга. Наприклад, ми знаємо, що всі задачі в мають поліноміальні схеми. З іншого боку, якщо ми доведемо , що проблема має супер-поліноміальної схеми (тобто показує супер-поліноміальний нижня межа), то . На жаль, Разборов і Рудич показали, що ця методика навряд чи зможе вирішити проблему P проти NP. (Див. Природні докази ). Нещодавній прорив у розділах класів, що базується на доведенні нижчих меж ланцюга, обговорюється в [1] та [2] . $P$ $NP$ $P\ne NP$

$P^{PH} \subseteq IP$

— М. С. Дусті
джерело

2

Зауважимо, що Бейкер, Гілл та Соловай не сказали, що діагоналізація не може працювати, але зробила більш нюансовану заяву: "Здається, що звичайні методи діагоналізації є адекватними".

— Андраш Саламон

@Sadeq Я не згоден, що діагоналізація відновиться. Наприклад, ви можете визначити діагональну машину на основі властивості, що враховує властивість локалізації обчислень, яка не релятивізується.

— Людовик Патей

Алгебризація - це не техніка, а скоріше концепція, подібна до релятивізації. Я гадаю, ви натомість маєте на увазі арифметизацію. А який зв’язок із природними доказами?

— Крістофер Арнсфельт Хансен

1

@Sadeq: BGS явно дозволяв визначити діагоналізацію більш включно, ніж, мабуть, передбачає Арора-Барак. Якщо теоретик набору, як Роберт Соловай, думає, що можуть існувати інші поняття діагоналізації, які не відносяться до релятивизації, то, можливо, ми повинні залишити цю можливість відкритою. Примітка, сторінка 75 A&B не відкидає можливості того, що якась діагоналізація використовує нерелативізуючий факт про машини Тьюрінга; все ще не опублікований рукопис Арора-Імпальяццацо-Вазірані вказує на те, що тут пов'язані досить тонкі питання. cseweb.ucsd.edu/~russell/ias.ps

— András Salamon

1

Про це є дебати: див. Наприклад, відповідь Fortnow на документ AIV: people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/relative.pdf

— Суреш Венкат

5

Щоб додати відповідь Фортнова, продовжуючи роботу Козена , Неш, Імпальяццо та Реммель формалізували поняття сильної діагоналізації та дали деякі докази того, що воно не релятивізується. Щоб частково відповісти на ваше перше запитання, їх результати показують, що деякі докази розділення класів не можуть базуватися на сильній діагоналізації. Ось реферат:

Ми визначаємо та вивчаємо сильну діагоналізацію та порівнюємо її із слабкою діагоналізацією, неявною у [7]. Результат Козена в [7] показує, що практично кожне розділення може бути перероблене як слабка діагоналізація. Ми показуємо, що існують класи мов, які не можна розділити сильною діагоналізацією і надають докази того, що сильна діагоналізація не релятивізується. Ми також визначаємо два види непрямої діагоналізації та вивчаємо їх силу.

Оскільки ми визначаємо сильну діагоналізацію з точки зору універсальних мов, ми вивчаємо їх складність. Ми розрізняємо і порівнюємо слабкі та суворі універсальні мови. Нарешті, ми аналізуємо деякі, мабуть, слабкіші варіанти універсальних мов, які ми називаємо псевдоуніверсальними мовами, і показуємо, що при слабких умовах закриття вони легко дають універсальні мови.

1-Наш, А., Імпальязцо, Р., Реммель; Ж. "Універсальні мови та сила діагоналізації". 18-та щорічна конференція IEEE з обчислювальної складності (CCC'03), стор. 337, 2003.

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

5

Чи існують докази поділу класів, які не ґрунтуються на діагоналізації?

Так, є, але не для рівномірних класів складності. У нас немає аргументів, щоб виключати такі докази, але поки що всі поділи між класами рівномірної складності, здається, в деякому місці використовують діагоналізацію.

Чи можемо ми знайти механізм самонавіювання за ними?

Я не думаю, що нерівномірне розділення класів складності може бути перетворене на аргументи "самопосилання", оскільки вони не є однорідними класами і не можуть бути перераховані, а для аргументу самовідсилання нам потрібно перерахувати членів класу.

чи кожне розділення класів має «канонічний природний» доказ (у неофіційному розумінні)?

Залежить від того, що ви маєте на увазі під "канонічним". AFAIK, не існує єдиної думки щодо відповідей на питання "коли два докази по суті однакові?".

Якщо це так, нам слід спробувати знайти нерелятивізуючі аргументи, а не інші схеми доказів для відкритих питань. Чи можна кожен недіагональний доказ переписати на діагональний?

Як зазначали інші, відповідь залежить від того, що ви маєте на увазі під діагоналізацією. У більш загальному сенсі (папір Козена, зв'язаний Лансом), відповідь "так" для будь-яких двох різних "класів складності" (як визначено в роботі Козена). Ви можете перетворити аргумент в аргумент "діагоналізації". Але:

це не стосується класів складності, які не відповідають вимогам, викладеним у роботі Козена (тобто не є "Козен" класами складності ").
$P$ $PSpace$
важливо те, що чим більш загальним є метод, тим більш обмеженими є його застосування (якщо він використовується сам), оскільки метод повинен працювати в більшості випадків, і це обмеження методу, ми не можемо використовувати конкретні інформація, яку ми маємо про проблему, якщо вона не поділяється або не може бути замінена чимось подібним для інших проблем, які ми хочемо застосувати до них.
Ми можемо перетворити аргументи розділення на аргументи «діагоналізації» (з огляду на обмеження, про яке я згадував вище), але сам факт «діагоналізуюча функція дійсно розділяє класи» потребує підтвердження. У роботі Козена видно, що існує функція діагоналізації, якщо класи різні, але як ми можемо знати, що дана функція насправді діагоналізує? Нам потрібен доказ! І документ (АФАІУ) не дає нам уявлення про те, як придумати ці докази. Якщо у нас є аргумент розділення, ми можемо перетворити його на доказ діагоналізації, але це лише післямаючи доказ. Оригінальний доказ послужить частиною нового доказу діагоналізації, він покаже, що функція дійсно діагоналізує. (І в певному сенсі доказ діагоналізації, побудований з документа Козена, не буде "канонічним", оскільки він буде повністю залежати від початкового аргументу.)

— Каве
джерело

Мені слід бути більш уважним щодо вашого другого питання (чи можемо ми знайти механізм самонавіювання за ними?) Та нерівномірності. Я думаю, вам потрібно бути більш конкретними щодо того, що ви маєте на увазі під «механізмом самонавіювання». Слово "самонавіювання" - це одне із слів, яке дуже часто вживається (особливо у філософських творах), тому ми повинні бути обережними. Звичайний механізм самопосилання (у значенні Годеля також див. Книгу Р. Смолляна "Діагоналізація та самонавіювання", 1994) потребує перерахування мовою об'єктів (тут ТМ) меншого класу. Але є й інші, які також використовують

— Kaveh

вживати слово "самонавіювання". EgK Mulmuley використовує це в нерівномірній постановці GCT у тому, що він називає "парадокс самонавіювання". Але мені важко зрозуміти, чи це ти маєш на увазі, коли ти використовуєш "механізм самонавіювання".

— Каве