Чи можна довести, що для даної проблеми не існує оптимальних жадібних алгоритмів?

Жадібність - це неформальний термін, але може бути (не впевнений, тому я і прошу), що для певних проблем жадібність може бути сформульована математично і таким чином доведено, що немає оптимального жадібного алгоритму. Чи можливо це?

Найпростіше зробити це - налаштувати жадібний алгоритм проблеми, а потім шукати зустрічний приклад. Якщо ви знайдете його, ви отримаєте свою відповідь. Інакше існує багато способів довести, що жадібність працює . З цим, звичайно, є деякі проблеми (наприклад, як конкретно сформувати жадібний алгоритм). Щодо характеристики того, які проблеми можуть бути, а які проблеми не можна вирішити жадібно, на це є також загальна відповідь.

Справді, в своїй статті «точної характеризації гриди структур» ( SIAM J. Дискретні Math . 6 , стор. 274-283), Helman, морето і Шапіро дав формальне опис всього цього ( так званий матроід вкладення , узагальнююче і матроїди, і гредоїди). З конспекту: «Автори представляють точні характеристики структур, за якими жадібний алгоритм виробляє оптимальні рішення».

Взагалі жадібний алгоритм можна сформулювати з точки зору зважених множинних систем . У вас є набір (наприклад, краї, якщо йдеться про мінімально простягнуті дерева), і у вас є набір підмножини (подумайте, ліси, що частково охоплюють, для проблеми мінімально простягаються дерева). представляє дійсні часткові рішення , побудовані шляхом комбінування елементів з . Існує також функція ваги, , яка дає вам вагу або вартість будь-якого елемента в . Зазвичай ми вважаємо це лінійним, тобто кожен елемент у$(E,\mathcal{F},w)$$E$$\mathcal{F}\subseteq 2^E$$E$$\mathcal{F}$$E$$w$$\mathcal{F}$$E$має вагу, а ваги (часткових) розчинів - це лише сума ваг елементів. (Наприклад, вага розкинутого дерева - це сума його крайових ваг.) У цьому контексті Helman et al. показали, що наступні еквівалентні:

1. Для кожної лінійної цільової функції є оптимальною основою.$(E,\mathcal{F})$

2. $(E,\mathcal{F})$ - вбудова матроїда.

3. Для кожної лінійної цільової функції жадібні бази є саме її оптимальними основами.$(E,\mathcal{F})$

Іншими словами: Для таких структур (які в основному втілюють тип конструкцій, про які зазвичай думають при роботі з жадібністю), саме набір вкладень матроїдів може вирішуватися жадібно.

Визначення вбудовування матроїдів не так вже й важке, тому довести, що дана проблема є або не є вбудовою матроїда, безумовно, можливо. Запис у Вікіпедії дає це визначення досить чітко. (Розуміння доказів, чому саме такі структури вирішуються жадібністю - це зовсім інша справа ...)

Якщо ваша проблема може бути сформульована з точки зору вибору з зваженої системи множин з лінійною цільовою функцією, і якщо ви можете показати, що це не вкладка матроїда, то ви показали, що її не можна вирішити жадібно, навіть якщо у вас немає ' не змогли знайти зустрічний приклад. (Хоча я підозрюю, що знайти зустрічний приклад було б трохи простіше.)

Цей підхід не зовсім без проблем. Як ви кажете, загальне уявлення про жадібність є досить неформальним, і цілком можливо було б підправити його таким чином, що формалізм лінійно зважених множинних систем не застосовується.

Так, є така робота. Аллан Бородін з співавторами розробив теорію, де вони формалізують поняття жадібності і отримують результати, з якими можна досягти співвідношення наближення. Вони вводять клас алгоритмів пріоритетності, який узагальнює жадібні алгоритми. Їх першою роботою з цієї теми є стаття " (Приріст) Алгоритми пріоритетності ".

PS Попередній абзац відповідає на інше запитання: чи можна довести, що для даної проблеми не існує жадібних алгоритмів із коефіцієнтом наближення менше, ніж якийсь ? Що стосується питання, я вважаю, що там передбачається, що оптимальні засоби точні, тому питання стосується проблем в Р (я вважаю, що жадібні алгоритми мають поліноміальну складність, хоча, мабуть, це не потрібно), які, як відомо, мають рішення іншими методами, ніж жадібними . І я не знаю відповіді на це питання.$1+\epsilon$

Для ivotron: якщо ви не мали на увазі мого першого тлумачення, я видалю цю відповідь.

Дивіться також це: http://en.wikipedia.org/wiki/Greedoid