Обмеження записів унітарних операторів до реальних чисел та універсальних наборів воріт

У насінному документі Бернштейна та Вазірані "Теорія квантової складності" вони показують, що -вимірне унітарне перетворення може бути ефективно наближене добутком того, що вони називають "майже тривіальними обертаннями" та "майже тривіальними зрушеннями фаз".$d$

"Близькотривіальні обертання" - -вимірні унітарні матриці, які діють як тотожність для всіх, крім двох вимірів, але діють як обертання в площині, що охоплюється цими двома вимірами (тобто має підматрицю 2x2 форми:$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

для деяких ).$\theta$

"Близькотривіальні зсуви фаз" - -вимірні унітарні матриці, які діють як тотожність для всіх, крім 1 виміру, але застосовують коефіцієнт для деякого до цього одного виміру.e i θ$d$$e^{i\theta}$$\theta$

Крім того, вони показують, що потрібен лише один кут повороту (як для одиниць обертання, так і для фазового зсуву), враховуючи, що кут є ірраціональним кратним (BV встановив кут на .2 π ∑ ∞ j = 1 2 - 2 $2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

У подальших працях з теорії квантової складності (як, наприклад, Adleman et al або Fortnow and Rogers) стверджується, що результат BV означає, що універсальне квантове обчислення може бути здійснено з унітарними операторами, записи яких знаходяться в .$\mathbb{R}$

Як це випливає? Я можу зрозуміти, що добуток матриць майже тривіального обертання дасть вам унітарну матрицю з реальними записами, а як щодо матриць зсуву фаз?

Тобто: якщо ви зможете виконувати лише тривіальні обертання та матриці зсуву фаз, де записи матриці або , чи можемо ми ефективно наблизити всі інші матриці зсуву фаз?$0,\pm 1$

Я підозрюю, що це значення не відразу очевидне, і належне підтвердження цього буде нагадувати доказ того, що ворота, що нагадують Тоффолі Дойча, універсальні - чи я пропускаю щось дуже очевидне?

Існує просте доказ того, що Тоффолі та Адамард є квантовим універсалом Доріт Ахаронов, який вперше показує, як складні амплітуди можуть бути змодельовані реальними амплітудами на більшому просторі Гільберта з ще одним кубітом.

"Це робиться шляхом додавання в ланцюг одного зайвого кубіта, стан якого вказує, чи перебуває стан системи в реальній чи уявній частині простору Гільберта, і замінюючи кожен складний затвор працює на кубітах, його реальною версією , що позначається , який працює на тих же кубітах плюс додатковий кубіт. визначається:k ˜ U k ˜ $U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$ "

По-друге, вона доводить універсальність набору воріт {Хадамард, Тоффолі}, який має лише реальні амплітуди .$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

На додаток до статті, на яку вас вказував Мартін, існував більш ранній статтю Террі Рудольфа та Лова Гровера, який показує, що 2-х ребітові ворота є універсальними для квантових обчислень (див. Quant-ph / 0210187 ). У воротах є всі реальні елементи, і якщо ви не знаєте, ребіти - це кубіти, де амплітуди обмежені реальними числами. Це може бути джерелом претензії. Питання, про яке йдеться в статті, є керованим обертанням Y.

Варто зазначити, що такі ворота з контрольованою Y можуть бути створені з Y-обертів та керованих Z-воріт таким чином: . Зауважте, що Y-обертання - це саме той тип обертання, який описаний у вашому запитанні, тоді як ворота контрольованих Z мають записи лише +1 та -1.$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$