Вбудовування графіка як сукупності тетраедрів, розмежуваних між собою

Визначте сітку в 3D як з’єднану колекцію тетраедрів з роз'єднаними інтер'єрами (тому тетраедри поділяють лише k-грані, ). Враховуючи довільний графік, чи є ефективна процедура перевірки, чи можна вбудовувати її як сітку? $k \le 2$

Тут вбудовування - це відображення вершин графіка до точок у а ребер до прямих, таким чином, що краї перетинаються лише у вершинах, а грані перетинаються лише на краях, а жодна з двох граней не перетинається у їхній внутрішній частині. $R^3$

ds.algorithms graph-theory

— Суреш Венкат
джерело

Ви маєте на увазі рядки чи сегменти рядків? Будь ласка, уточнюйте два типи ребер: грані знаходяться в тетраедрі, а ребра, про які ви згадали, є у графіку ... Також вам потрібно, щоб усі тетраедричні краї були графами графів, або я просто вбудую будь-який графік у повний графік Я отримую від балів на кривій моменту.

— Джек

Я маю на увазі сегменти рядків, і так, всі тетраедричні краї є графами графіка. Я не впевнений, що розумію, що ви маєте на увазі під "двома типами" ребер.

— Суреш Венкат

Ви маєте на увазі "Чи - 1-кістяк сітки?" або "Чи - підграф 1-скелета сітки?" чи щось інше? Звідки беруться грані більш високих розмірів?

G

$G$

G

$G$

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E Я думаю, що виходячи з джерела запитання, правильним викладом питання має бути "Чи G 1-скелет сітки". Але мене також цікавить випадок, коли G є підграфом 1-го скелета. Таким чином, грані з більшими розмірами не є частиною G, але вимога, щоб вбудовування було дійсною сіткою, обмежує G. Я сподіваюся, що це має сенс.

— Суреш Венкат

У твердості вбудовування спрощених комплексів у $\mathbb{R}^d$ зазначено, що принаймні настільки ж важкий, як і розпізнавання 3-сфери, яка, як відомо, є в NP, але невідомо, що вони є в П. Вони продовжують говорити, що, за всім, що ми знаємо, проблема може бути невирішеною. $\mbox{EMBED}_{3\rightarrow3}$

EDIT: оновлення. Насправді моя відповідь стосується вбудовування PL. Для лінійних вкладень проблема, як відомо, є в PSPACE. Я не знаю, чи відомо ще щось.

— Шон Харкер
джерело

Ах, хороша довідка. Мені доведеться проаналізувати це трохи ретельніше, оскільки їхнє поняття вбудовування PL може бути трохи слабшим, ніж поняття, яке я хочу (саме так вони називають "лінійне" вкладення.

— Суреш Венкат,

О Я бачу. Я не зловив цей нюанс. Дарн. Ну, сподіваємось, це все одно корисно :)

— Шаун Харкер