Множення n многочленів ступеня 1

Проблема полягає в обчисленні многочлена . Припустимо, що всі коефіцієнти містяться в машинному слові, тобто ними можна керувати за одиницю часу. $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

Ви можете зробити час, застосувавши FFT деревом. Чи можете ви зробити ? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— Міхай
джерело

Приємне запитання, схоже, я бачила щось подібне в чиємусь блозі, але не можу згадати, де це було.

— Григорій Ярославцев

Незначне спостереження: ми знаємо (працюючи над Q, скажімо) n коренів

, тому задача еквівалентна: Дано

, обчислимо многочлен

. (Я здогадуюсь.)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ShreevatsaR

Чи можете ви дати посилання на результат

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Мохаммед Аль-Туркстані

Як згадував @Suresh, це простий підхід "ділити і перемагай". Його можна узагальнити так, що n поліс може мати різний ступінь

, і в цьому випадку ви можете поділитись по дереву Хаффмана. Див. Страссен: Обчислювальна складність тривалих дробів.

d_{i}

$d_i$

— Зейю

Чи можемо ми обчислити згортку

векторів постійного виміру 2 у часі

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Каве

Попередження: Це ще не повна відповідь. Якщо аргументи правдоподібності роблять вам незручно, перестаньте читати.

Я розгляну варіант, де ми хочемо перемножити (x - a_1) ... (x - a_n) на складні числа.

Проблема є подвійною для оцінки полінома в n точках. Ми знаємо, що це може бути зроблено розумно в O (n log n) час, коли точки стають n-ю коренями єдності. Це має істотну перевагу симетрії регулярних багатокутників, які лежать в основі швидкої трансформації Фур'є. Це перетворення відбувається у двох формах, умовно званих децимацією за часом та децимацією за частотою. У радіксі другому вони покладаються на подвійну пару симетрій рівномірних регулярних багатокутників: симетричну замикаючу (правильний шестикутник складається з двох з’єднуються рівносторонніх трикутників) і симетричну розгортання вентилятора (розрізати правильний шестикутник навпіл і розгорнути шматочки, як вентилятори на рівносторонні трикутники).

З цієї точки зору видається дуже неправдоподібним існування алгоритму O (n log n) для довільного набору з n точок без особливих симетрій. Це означало б, що немає нічого алгоритмічно виняткового щодо регулярних багатокутників порівняно зі випадковими множинами точок у складній площині.

— Пер Вогсен
джерело

З іншого боку, нижня межа

для такої природної проблеми здається однаково неправдоподібною!

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

— Jeffε

Правда! Я б хотіла, щоб у мене була більш чітка відповідь. Це дуже цікаво.

— Per Vognsen

Бонус нагороджений!

— Jeffε

@PerVognsen: Чи можете ви дати посилання на цю точку зору щодо: симетрії багатокутників / симетрії блокування? Або якщо це власне спостереження, ви могли б трохи розширити його?

— Джошуа Грохов