Явне мурекурсивне вираження функції Акермана

Чи можете ви вказати, як побудувати функцію Акермана (насправді мене цікавить версія, запропонована Россою Петером та Рафаелем Робінсоном) за допомогою стандартних мурекурсивних операторів? Я спробував оригінальні статті Петера та Робінсона, але в папері Петера використовується мова, що відрізняється від англійської та в роботах Робінсона «Рекурсія та подвійна рекурсія» та «Примітивні рекурсивні функції» також не допомагають: перша з них здається більш актуальною, але використовується так називається оператором подвійної рекурсії для визначення функції Акермана, тому в цьому випадку шукається явне визначення оператора в мурекурсивних умовах.

Найбільш близько до відповіді йде П. Сміт у «Вступі до теорем Годеля» (CUP, 2007) (29.4 Функція Акермана-Пітера є μ-рекурсивною), але він придумує таке: «зробити аргумент водонепроникним досить нудна, хоча і не складна. З написання деталей тут нічого не можна дізнатися: тому ми цього не зробимо ».

Я також спробував книгу Роззи Петера «Рекурсивні функції» (1967, Академічна преса). Існує безліч варіантів для операторів рекурсії, наведених там. Зазвичай одне зводиться до іншого. Я вважаю, що існує тип оператора рекурсії, який підходить для визначення функції Акермана та послідовності кроків, які зводять її до примітивних операторів зменшення і мінімізації, але я виявив, що не в змозі дослідити весь шлях вниз.

Порушення функції Акерманна аж до елементарних операторів справді було б досить тривалим, але ось ескіз:

Зауважте, що при обчисленні рекурсивно в будь-якій точці обчислення ви маєте справу з виразом форми A ( m 1 , A ( m 2 , ... , A ( m k , z ) ... ) . функцію біективної пари p з оберненою ( π 1 , π 2 ) , ми можемо кодувати цей стан як p ( z , p ( $A(m,x)$$A(m_1,A(m_2,\dots,A(m_k,z)\dots)$$p$$(\pi_1,\pi_2)$ (просто p ( z , 0 ) у випадку k = 0 ). Тоді ми можемо визначити функцію однокрокового оцінювання, задавши стан:$p(z,p(k,p(m_k,\dots,p(m_2,m_1)\dots)$$p(z,0)$$k=0$

;$e(p(z,0)) = p(z,0)$

;$e(p(z,p(k,p(0,c)))) = p(z+1,p(k-1,c))$

;$e(p(0,p(k,p(m+1,c)))) = p(1,p(k,p(m,c)))$

.$e(p(z+1,p(k,p(m+1,c)))) = p(z,p(k+1,p(m+1,p(m,c))))$

Потім ви отримуєте функцію n-ступінь оцінки за допомогою примітивної рекурсії:

і E ( n + 1 , m , x ) = e ( E ( n , m , x ) ) .$E(0,m,x) = p(x,p(1,m))$$E(n+1,m,x) = e(E(n,m,x))$

Нарешті, оберніть -рекурсію навколо E, щоб знайти точку, де ми потрапимо до стану вигляду p ( z , 0 ) - z буде A ( m , x ) .$\mu$$E$$p(z,0)$$z$$A(m,x)$

Це варіант ідеї, яку опублікував Kaveh, але я все-таки публікую повідомлення, оскільки це дозволяє підмітати багато кидких деталей під килим, фактично не роблячи жодного рукоділля.

Ключовим фактом є те, що графік функції Акермана є примітивним рекурсивним. Не так важко знайти дуже грубу примітивну рекурсивну межу$B(m,n,w)$ on the code for the table of Ackermann values needed to verify that $A(m,n) = w$. Don't try to get sharp bounds — the cruder the easier! Something like $B(m,n,w) = 2^{mw^w}$ should be good enough, but that depends on your choice of coding scheme. Since the verification of the table values can be described by a bounded formula, it is primitive recursive.

Once you have a primitive recursive definition for the graph $G(m,n,w)$ of the Ackermann function, simply define $A(m,n) = \mu w\,G(m,n,w)$.

На жаль, ця стратегія не працює для всіх функцій, визначених подвійною (або багаторазовою) рекурсією. Причина, що працює у функції Акермана, - як ви побачите, намагаючись розібратися в хорошій$B(m,n,w)$- це те, що вона росте дуже монотонно. Для загального випадку ви повинні використовувати ідею Kaveh і мати$\mu$шукайте відповідну таблицю значень. Це в основному та сама причина, чому теорема нормальної форми Клінова повинна робити проекцію після застосування$\mu$ оператор.