Чи можу я зв'язати кардинальність набору, якщо тестування на членство в ньому, як відомо, є NP-завершеним?

Мені хотілося б мати обмеженість кардинальності набору одиничних графіків диска з вершинами. Відомо, що перевірити, чи граф є членом цього набору, є важким NP. Чи призводить це до якої-небудь нижньої межі кардинальності, якщо припустити, що P NP? $N$ $\neq$

Наприклад, припустимо, що на всіх графах є впорядкування з $N$ вершин. Чи буде NP-твердість тоді означати, що кардинальність перевищує $2^N$ , оскільки в іншому випадку ви можете перевірити на приналежність до поліноміального часу, зробивши двійковий пошук через набір? Я думаю, це припускає, що ви якось зберегли набір у пам'яті ... Це дозволено?

Визначення: Графік є графіком одиничного диска, якщо кожну вершину можна асоціювати з одиничним диском у площині, таким чином, щоб вершини були з'єднані кожного разу, коли їх диски перетиналися.

Ось посилання на NP-твердість тестування членства для одиничних графіків диска: http://disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— Девід Чой
джерело

Мені цікаво, чи є приклад, коли ця методика забезпечує найбільш відому нижню межу розміру якогось набору? Це було б крутим непрямим комбінаторним застосуванням теорії складності.

— Сашо Ніколов

Дякую за добру допомогу. Обидві відповіді були корисними та проникливими; Я б прийняв будь-яку одну за відсутності іншого.

— Девід Чой

Відповіді:

Я не впевнений, якщо ви задаєте це питання технікою або для відповіді, але є нещодавній документ МакДіарміда та Мюллера, де вони показують, що кількість (позначених) графіків одиничних дисків на вершинах становить ; див. http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf . $n$ $2^{(2 + o(1))n}$

— Барт Янсен
джерело

Теорема Махені говорить, що рідкісні множини NP існують iff P = NP. Таким чином, якщо припустити, що має на увазі надполіномальну нижню межу щодо кількості екземплярів розміру у множинах , нескінченно багато . Тобто, якщо , то будь-який повний набір повинен мати деякий такий, що для нескінченно-багатьох цілих чисел , набір містить щонайменше струни довжиною . $P \neq NP$ $n$ $NP$ $n$ $P \neq NP$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

Х. Бурман та Дж. М. Хічкок довели, що нижня межа ( ) є тісною, якщо не руйнується поліноміальна ієрархія. $2^{n^{\epsilon}}$

[1] Х. Бурман та Дж. М. Хічкок, NP-жорсткі набори є експоненціально щільними, якщо не coNP ⊆ NP / poly, на конференції IEEE про складність обчислень, сторінки 1–7, 2008

[2] Ерік Аллендер, Звіт про стан питання "P Versus NP", "Аванси в галузі комп'ютерів", Том 77, 2009, Стор. 117-147

— Мохаммед Аль-Туркстані
джерело

[Mah82] SR Mahaney. Рідкі комплекти для NP: Розв’язання гіпотези Бермана та Хартманіса , Журнал комп’ютерних та системних наук 25: 130-143, 1982.

— Марціо Де Біасі

Кожен NP-комплект має незмінно безмежну кардинальність. Ви, мабуть, мали на увазі, що P ≠ NP має на увазі нижню межу суперполінома щодо кількості екземплярів розміру для нескінченно багатьох . Зауважимо також, що є суперполіномом без форми, яку ви надаєте.

n

$n$

n

$n$

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$

— Андраш Саламон

Дякую Андраш, ваш коментар включений у відповідь.

— Мохаммед Аль-Туркстані

@ Мохаммед: зробіть нижню межу , або : ось що означає суперполіномічний.

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$

— Сашо Ніколов

@ Сашо, Х. Бурман та Дж. М. Хічкок довели нижню межу ( ), про яку я згадував у своїй відповіді, якщо поліноміальна ієрархія не руйнується. Х. Бурман та Дж. М. Хічкок, набори NP-Hard є експоненціально щільними, якщо не coNP ⊆ NP / poly, на конференції IEEE про складність обчислень, сторінки 1–7, 2008

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$

— Мохаммед Аль-Туркстані,