Зв'язок між твердістю розпізнавання класу графа та забороненою характеристикою підграфа

Я розглядаю класи графів, які можна характеризувати забороненими підграфами.

Якщо графічний клас має кінцевий набір заборонених підграфів, то існує тривіальний алгоритм розпізнавання поліноміального часу (можна просто використовувати грубу силу). Але нескінченна сім'я заборонених підграфів не передбачає твердості: є деякі класи з нескінченним списком заборонених підграфов, таким чином, що розпізнавання також може бути перевірено в поліноміальний час. Графіки хордальних та досконалих є прикладами, але в цих випадках існує «хороша» структура забороненої родини.

Чи є якийсь відомий зв’язок між твердістю визнання класу та "поганою поведінкою" забороненої сім'ї? Таке відношення має існувати? Ця "погана поведінка" десь була формалізована?

cc.complexity-theory graph-theory np-hardness

— Вініцій дос Сантос
джерело

Відповіді:

Хоча здається, що інтуїтивно зрозуміло, що перелік заборонених (індукованих) підграфів для класів графіків, які мають NP-жорстке розпізнавання, повинен мати певну "внутрішню" складність, я нещодавно знайшов у літературі деякі яскраві негативні докази цієї інтуїції. $\mathscr{C}$

Мабуть, найпростішим для опису є наступне, узяте зі статті Б. Левка, Д. Ліна, Ф. Мафрея та Н. Тротіньона .

Нехай - сімейство графіків, які складаються з циклу довжиною щонайменше чотирьох плюс три вершини: дві сусідні до тієї ж вершини $F$ $u$ циклу, і один суміжно з вершиною циклу, де і є не є послідовними в циклі (і жодних інших ребер). $v$ $u$ $v$

Тепер нехай - це сімейство графіків, складених точно так само, за винятком того, що ви додаєте чотири вершини: дві сусідні до тієї ж вершини циклу (як і раніше), але тепер дві $F'$ $u$ суміжні з однієї і тієї ж вершини з цикл, де знову і не є послідовними. $v$ $u$ $v$

Тоді клас графіків, у яких є забороненими індукованими підграграфами, має розпізнавання в поліноміально-часовому режимі, тоді як розпізнавання класу, який має як заборонені індуковані підграграфи, є NP-важким. $F$ $F'$

Тому мені важко уявити будь-яку загальну умову, що перелік заборонених індукованих підграфів повинен задовольняти, коли це призводить до класу з (NP-) твердим розпізнаванням, вважаючи, що така умова повинна буде відокремлювати "дуже схожу" і вище. $F$ $F'$

— Уго Нобрега
джерело

Гарна відповідь - це досить делікатно.

— Суреш Венкат

Цікаво. Чи є ймовірність, що це матиме щось спільне з виразністю логіки, необхідної для опису шаблону? Я думаю про щось на зразок формальних мов, де складність мови може бути рівнозначно характеризується способом її визначення (regexp, формальна граматика ...) або машиною, необхідною для її розпізнавання (автомат, натискання ...) або виразність логіки, необхідної для написання формули, що характеризує слова мови (наприклад, MSO для звичайних мов).

— a3nm

Це цікава ідея, але знову ж я не можу не думати , що

є настільки близькі , що важко уявити собі образ «поділу» їх так (скажімо , з допомогою

будучи описуватися мовою,

не є ). Я міг би бути просто надмірно негативним ..! Я, правда кажу, продовжую тут "інтуїцію", тому я буду радий, що я виявився неправильним.

F

$F$

F^{'}

$F'$

F

$F$

F^{'}

$F'$

— Hugo Nobrega

@Hugo: одна відчутна відмінність між ними - це симетрія в характеристиці

- по суті немає засобів для розрізнення вершин

. Що станеться, якщо ви вважаєте сімейство

циклів довжиною щонайменше чотирьох плюс дві додаткові вершини, що примикають до непослідовних вершин у циклі? Чи відновлення симетрії в напрямку "інший" (видалення вершини з

а не додавання її) знову ускладнює?

F^{'}

$F'$

u

$u$

v

$v$

F_{0}

$F_0$

F

$F$

— Стівен Стадницький

@Steven: Гадаю, що ні, можна виявити графіки в

, випадковим чином відгадуючи 8 вузлів, утворюючи обидві сторони графіка, та виконувати алгоритм "три в дереві" на трьох вузлах, як той у теоремі 3.1. Це дає поліноміально-часовий алгоритм для виявлення

F_{0}

$F_0$

F_{0}

$F_0$

— Hsien-Chih Chang 14 之

Відповідь @Hugo дуже приємна, і тут я хочу додати кілька особистих думок.

У родинах F і F 'є споріднені сім’ї, подібні до графіків. Графіки сімейства B1 у статті зазвичай називають пірамідами. А графіки в сімейному B2 зазвичай називають призмами. Дивіться відповідь тут для ілюстрації. У літературі заданих проблем виявлення підграфів вони використовувались для виявлення парних / непарних отворів, що представляють собою безкоректні цикли з парною / непарною довжиною. За відомою сильною ідеальною теоремою графа графік G є ідеальним, якщо і G, і доповнення G не містять непарних дірок.

Для сімей пірамід і призм насправді існують відмінності між ними - одне має індуковане піддерев’я з трьох листків, а інше - ні. Це називається проблемою «три в дереві» , яку вивчали Чудновський та Сеймур. Дивно, що визначити, чи є індуковане дерево, яке містить три задані вузли, можна простежити, тоді як проблема "дерева з центром у центрі" є важкою для NP . (Дерево по центру - це дерево, що має щонайменше один вузол, ступінь якого перевищує 2). Відмінність між F і F ', здається, викликана тією ж причиною.

Але здається, що повна характеристика все ще важка, тому що ми навіть не знаємо складності виявлення графіків у деяких сімействах, яка виглядає досить просто, як графіки, що не мають непарних дірок (!). І для сімей, які ми знаємо, існує алгоритм поліноміального часу, як ідеальні графіки і безпарні графіки, хоча існують загальні стратегії (засновані на декомпозиції) для розробки алгоритму, треба надати конкретну структурну теорему для їх. Зазвичай це процес, залежний від сім'ї, і більшість часу доказів справді тривалий. ( Ось приклад графіку без рівних отворів, де папір становить понад 90 сторінок.)

І все-таки було б цікаво встановити деякі класифікації проблем індукованого підграфу в тому сенсі, як проблема "три в дереві".

— Сісен-Чі Чанг 張顯之
джерело