Чи є крайові вершинні графіки політопів (пристойних) розширювачів?

Це питання натхнене поліномою Гіршевої гіпотези (PHC). Враховуючи поверхневий багатогранник у , чи нижня межа спектрального розриву його крайового вершинного графіка (назвемо його ) обмежена ? Зауважимо, що графік циклу на вершинах показує, що навіть для спектральний зазор може бути таким же малим, як ; тож припущену прив'язку - якщо це правда - була б майже тісною.$n$$P$$\mathbb R^d$$G$$\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$$n$$d=2$$O(1/\mathrm{poly}(n))$

Відповідь "так" означатиме ПМС. Насправді це також означатиме, що лінійні програми можна ефективно вирішити лише випадковим ходом по політопних вершинах, і цей алгоритм навіть не приділяє великої уваги цільовій функції! Це здається занадто гарним, щоб бути правдою.

Отже, який статус цієї проблеми: відкрита (як PHC) чи помилкова? Якщо помилково, чи існують прості контрприклади?

Примітка . Я щойно зрозумів про звичайні ускладнення, пов'язані з визначенням розширювачів: не повинен бути регулярним або двостороннім. Я сподіваюся, що обидва ці технічні проблеми можна буде подолати стандартними способами, і, зокрема, вони не роблять мого питання тривіальним. (Будь ласка, виправте мене, якщо я помиляюся!)$G$

Для 0/1-політопів (усі вершинні координати дорівнюють 0 або 1), це, як відомо, не відповідає дійсності. Існує здогадка Михайла та Вазірані, що крайове розширення графіка 0/1-політопа принаймні одна. Більше інформації описано у статті Волкера Кайбела .

Слід зазначити дві речі. (1) Для 0/1-політопів гіпоезна гірша справжня . (2) Виконуючи випадкову прогулянку по вершинах багатогранника, нам потрібно подбати про можливе виродження. Одна вершина може відповідати безлічі підстав, і тому хода може залишатися в одній вершині, якщо ми здійснюємо випадкову ходу над базами. Якщо ми хочемо здійснити випадкову ходу над вершинами, нам потрібно провести процедуру, яка дає випадкову сусідню вершину.

Взагалі це неправда: розглянемо два подвійних до циклічних d-політопів з n гранями кожен і об'єднати їх по вершині. (Це подвійна операція склеювання двох полутопів). Кількість вершин буде дорівнює а спектральний проміжок буде приблизно 1. (Ви можете використовувати d краї, щоб розділити графік на дві частини.$n^{[d/2]}$

Я довів 1 / poly (n) відокремлення для "подвійних до сусідських" політопів. (Це був мій перший випадок з гіпотези Гіноша про поліноми. "" Діаметр графіків опуклих політопів та теорії f-векторів "Прикладна геометрія та дискретна математика, 387–411, сер. DIMACS, дискретна математика. Теорет. , 4, Амер. Мат. Соц., Провіденс, РІ, 1991.