Додавання цілих чисел, представлених їх факторизацією, так само важко, як і факторинг? Довідковий запит

Я шукаю посилання на наступний результат:

Додавання двох цілих чисел у факторне подання так само важко, як і факторинг двох цілих чисел у звичайне бінарне подання.

(Я майже впевнений, що це там, тому що я щось задумався, а потім був схвильований, коли нарешті побачив це у друку.)

"Додавання двох цілих чисел у факторне подання" є проблемою: з урахуванням простих множників двох чисел і вивести просту факторизацію . Зауважимо, що алгоритм наївності для цієї проблеми використовує факторизацію в стандартному бінарному поданні як підпрограму.$x$$y$$x+y$

Оновлення : Дякую Каве і Садеку за докази. Очевидно, що більше доказів веселості, але я також хотів би заохотити більшу допомогу у пошуку посилання , яке, як я вже сказав, я впевнений, що існує. Я пригадую, як читав це в документі з іншими цікавими і не часто обговорюваними ідеями, але я не пригадую, які були ці інші ідеї чи про що в статті взагалі йдеться.

Припустимо, що ми можемо розв’язати задачу (давайте назвати її FactSum) у класі складності а C закритий під час реєстрації журналу (він же обмежений журналом рекурсії) (наприклад, якщо ми можемо обчислити x ∗ y, де ∗ є бінарною функцією, ми можемо обчислюється x 1 ∗ … ∗ x log n ) і містить P (ця остання умова може бути слабкішою). Ми покажемо , що факторинг в також в C .$C$$C$$\log$$\log$$x*y$$*$$x_1*\ldots*x_{\log{n}}$$\mathsf{P}$$C$

Зауважте, що кожне число може бути записане у вигляді суми потужностей 2 . Кожен з них легко піддавати чинникам.$\log n$$2$

Тепер, задане число, запишіть його як суму його потужностей, потім запишіть кожну суму в представленні факторингу, а потім використовуйте алгоритм для підсумовування їх у поданні факторингу. Результатом стане факторинг вхідного числа.

Це показує, що факторинг можна звести до вашої проблеми FactSum. Тому факторинг в P FactSum (і я думаю , що P може бути замінений N C 1 тут).$\log$$\mathsf{P}^{\text{FactSum}}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC^1}$

Я не знаю посилання, але, думаю, я придумав доказ:

Припустимо, у вас є оракул який на введенні двох фактичних чисел$\mathcal{O}$

$x = \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

і

$y = \prod_{i=1}^m q_i^{\beta_i} \enspace$,

виводить факторизацію .$x+y$

Отримавши доступ до , ми можемо множити будь-яке число N у поліноміальний час, використовуючи наступну рекурсивну процедуру.$\mathcal{O}$$N$

Коефіцієнт процедури ( )$N$

1. Знайдіть простим таким, що N / 2 ≤ x ≤ N - 1 , і y = N - x .$x$$N/2 \le x \le N-1$$y = N - x$
2. Якщо не є простим, отримайте факторизацію y за рекурсивним фактором виклику ( y ) і виведете O ( x , f a c t o r ( y ) ) .$y$$y$$y$$\mathcal{O}(x, factor(y))$
3. Інший вихід .$\mathcal{O}(x,y)$

Аналіз:

За теоремою простих чисел для досить великого , між N / 2 і N - 1 існує велика кількість простих чисел . Якщо N настільки малий, що жоден простір не падає в цей інтервал, ви можете легко розподілити N. Тому крок 1 проходить.$N$$N/2$$N-1$$N$$N$

На кроці 2, ви можете використовувати AKS або будь-який інший тест первинності в поліномі-часі.

Кількість рекурсії просто , оскільки на кожному кроці N розрізається навпіл (принаймні)$O(\lg(N)) = O(|N|)$$N$

PS-1: Якщо припустити , що гіпотеза Гольдбаха може допомогти прискорити процедуру для парних (і, можливо, непарних) цілих чисел.

PS-2: Використовуване скорочення - це зменшення Кука. Можливо, буде цікаво провести доказ із використанням скорочень Карпа.

Ця відповідь не залежить від моєї попередньої відповіді . Його мета - вирішити проблему @ Kaveh у коментарях:

Це легко зробити, якби ми хотіли номер n n , але я не бачу, як це зробити навіть з n log log n номерами.$\log n$$\log \log n$

У мене було подібне занепокоєння:

Використовуване скорочення - це зменшення Кука. Можливо, буде цікаво провести доказ із використанням скорочень Карпа.

(Скорочення Карпа - це проблеми з рішенням. Тут, під скороченням Карпа, я маю на увазі скорочення кука на один запит. Вибачте за нестандартну термінологію!)

Відповідь нижче ґрунтується на обговоренні тут: /math/54580/factoring-some-integer-in-the-given-interval .

У цій відповіді я надам детерміноване скорочення Карпа на полініміальному часі від факторингу до факторингу суми двох цілих чисел, представлених їх факторизаціями . Однак є одна уловка: У ході доказу я використаю таке теоретичне припущення про число:

$p_n$$p_{n+1}$$p_{n+1} - p_n = O(\log^2p_n)$

$N$$n=|N|=O(\log N)$$N$$[N - \log^3N, N]$$\log^3N = O(n^3)$

$x$$[N - \log^3N, N]$$y=N-x$

$0 \le y \le \log^3N$$|y| = O(\log \log N) = O(\log n)$$y$

$(x,y)$$N = x+y$