Розширена церковна дисертаційна робота

Одним з найбільш обговорюваних питань на сайті було те, що означало б спростувати тезу Церкви Тюрінга . Частково це пояснюється тим, що Дершовіц та Гуревич опублікували доказ тези Церкви Тюрінга - Вісник символічної логіки у 2008 році. Я не буду це обговорювати тут, але за посиланням та обширними коментарями дивіться оригінальне запитання, або - - безсоромна самореклама - запис у блозі, який я написав.)

Це питання стосується розширеної тези Церкви-Тьюрінга, яка, як сформулював Ян Парбер,:

Час на всіх "розумних" моделях машин пов'язаний поліномом.

Завдяки Джорджіо Марінеллі я дізнався, що один із співавторів попереднього докладу Дершовіц та його докторант, Фалькович, опублікували доказ розширеної дисертації Церкви Тьюрінга, яка щойно з'явилася на семінарі " Розвитки" Обчислювальні моделі 2011 року .

Я щойно роздрукував папір сьогодні вранці, і я його знехтував, більше нічого. Автори стверджують, що машини Тьюрінга можуть імітувати будь-який послідовний обчислювальний пристрій, що має максимум багаточлен. Квантове обчислення та великомасштабні паралельні обчислення явно не охоплені. Моє запитання стосується наступного твердження в роботі.

Ми показали - як було вигадано і широко вважається - що кожна ефективна реалізація, незалежно від того, які структури даних вона використовує, може бути змодельована машиною Тьюрінга, маючи щонайбільше поліноми накладних за часом складності.

Отже, моє запитання: чи справді це "широко вважається" навіть у випадку "справді" послідовних обчислень без рандомізації? Що робити, якщо речі випадкові? Квантові обчислення були б імовірним контрприкладом, якщо насправді це можна уявити, але чи існують можливості "слабкіші", ніж квантові, які також були б контрприкладами?

Підготовчий Рант

Треба сказати вам, я не бачу, як розмова про "докази" КТ або ЕКТ додає світла цій дискусії. Такі "докази", як правило, настільки ж хороші, як і припущення, на яких вони спираються --- іншими словами, як і те, що вони означають слова, такі як "обчислення" або "ефективне обчислення". То чому б тоді не приступити відразу до обговорення припущень і не відмовитися від слова "доказ"?

Це було зрозуміло вже з оригінальним комп'ютером, але з ECT це ще зрозуміліше --- оскільки ЄСТ не тільки є "філософсько недоказаним", але сьогодні, як вважають, це неправда! Для мене квантові обчислення - це величезний, яскравий контрприклад, який повинен бути відправною точкою для будь-якої сучасної дискусії про ECT, а не щось, що відхиляється в сторону. Але документ Дершовіца та Фальковича навіть не торкається QC до останнього абзацу:

Вищенаведений результат не охоплює масштабних паралельних обчислень, таких як квантові обчислення, оскільки він стверджує, що існує ступінь встановленої межі на ступінь паралелізму, кількість алгоритмів, зафіксованих алгоритмом. Питання відносно [sic] складності паралельних моделей буде порушено найближчим часом.

Я вважав, що вищезгадане дуже оманливе: КК не є "паралельною моделлю" в будь-якому звичайному розумінні. У квантовій механіці немає прямого зв’язку між "паралельними процесами" --- лише інтерференція амплітуд ---, але також легко створити експоненціальне число "паралельних процесів". (Дійсно, кожну фізичну систему у Всесвіті можна вважати так, як ми говоримо!) У будь-якому випадку, що б ви не думали про тлумачення квантової механіки (або навіть її правди чи неправдивості), зрозуміло, що вона потребує окремої обговорення!

Тепер, до ваших (цікавих) питань!

Ні, я не знаю жодного переконливого прикладу до ЄКТ, крім квантових обчислень. Іншими словами, якби квантова механіка була помилковою (таким чином, що все ще зберігала Всесвіт «цифровіше», ніж «аналог» за шкалою Планка --- див. Нижче), то ECT, наскільки я розумію, все одно не був би "доказовим" (оскільки це все ще буде залежати від емпіричних фактів про те, що ефективно обчислюється у фізичному світі), але це було б хорошою робочою гіпотезою.

Рандомізація, ймовірно, не кидає виклик ECT, як це прийнято розуміти, через на сьогодні вагомі докази того, що P = BPP. (Хоча зауважте, що якщо вас цікавлять інші параметри, ніж проблеми з мовним рішенням - наприклад, проблеми з реляцією, дерева рішень або складність спілкування ---, випадкова рандомізація може призвести до величезних змін. І ці налаштування цілком розумні. ті, про які варто говорити; вони просто не ті, про які люди зазвичай мають на увазі, коли вони обговорюють ЄСТ.)

Інший клас "контрприкладів" ECT, який часто виховується, включає аналогові або "гіпер" обчислення. Моя власна думка полягає в тому, що, згідно з нашим найкращим сучасним розумінням фізики, аналогові обчислення та гіперкомп'ютери не можуть масштабуватись, і причина, чому вони не можуть, як не дивно, - це квантова механіка! Зокрема, поки ми ще не маємо квантової теорії сили тяжіння, те, що відомо сьогодні, говорить про те, що існують фундаментальні перешкоди для запуску більше ніж приблизно 10 ⁴³ кроків обчислень в секунду або вирішення відстаней менше приблизно 10 ^-33 см.

Нарешті, якщо ви хочете взяти з обговорення будь-що, що може бути правдоподібним чи цікавим викликом для ECT, і дозволити лише серійні, дискретні, детерміновані обчислення, тоді я погоджуюся з Дершовіцем та Фальковичем, що дотримується ЄКТ! :-) Але навіть там важко уявити "формальне підтвердження", що підвищує мою впевненість у цьому твердженні - справжнє питання, знову ж таки, саме те, що ми приймаємо слова типу "серійний", "дискретний" та "детермінований" маю на увазі .

Щодо вашого останнього запитання:

Квантові обчислення були б імовірним контрприкладом, якщо насправді це можна уявити, але чи існують можливості "слабкіші", ніж квантові, які також були б контрприкладами?

Сьогодні існує маса цікавих прикладів фізичних систем, які, здається, здатні реалізувати деякі квантові обчислення, але не всі (даючи класи складності, які можуть бути проміжними між BPP та BQP). Крім того, багато з цих систем може бути легше реалізувати, ніж повний універсальний КК. Дивіться, наприклад цю статтю по Бремнер, Jozsa і Пастиря, або цей по Архипов і сам.

Ця відповідь призначена як доповнення до відповіді Скотта Аронсона (з чим я в основному згоден).

З інженерної точки зору, вражає, що стаття Дершовіца / Фальковича використовує слово "випадковий" лише у значенні "пам'ять з випадковим доступом", і, крім того, у статті не вживається слово "зразок" (або будь-яке його варіанти) взагалі. Скоріше, фокус аналізу Дершовіца / Фальковича обмежується виключно обчисленням числових функцій.

Це обмеження вражає, оскільки велика більшість сучасних обчислювальних ресурсів STEM (я зважусь сказати) не поважають обмеження чисельних функцій, а навпаки присвячені генеруванню зразків з розподілів (наприклад, молекулярна динаміка, турбулентний потік рідини, поширення руйнування , шумні спінові системи як класичні, так і квантові, хвилі, що поширюються через випадкові носії тощо).

Таким чином, якщо "Розширена дисертація Церкви Тюрінга" (ECT) має істотне значення для обчислень STEM, визначених широко, можливо, слід виключити виключне обмеження числових функцій, і надати узагальнене твердження ECT, яке включає вибірку обчислення (та їх перевірка та перевірка).

Чи все-таки ця узагальнена до вибірки версія ЄКТ все ще потраплятиме до сфери діяльності ТКС, як традиційно замислюється? Відповідь, здавалося б, "так", відповідно до поширених запитань обміну стеками TCS :

Ми посилаємось на опис групи спеціальних інтересів ACM з алгоритмів та теорії обчислень (SIGACT) ... TCS охоплює широкий спектр тем, включаючи ймовірнісні обчислення ... Робота в цій галузі [TCS] часто відрізняється своїм акцентом на математичну техніку і строгість.

$\text{ECTT}$$\{0,1,+,\times\}$$\text{ECTT}$, що говорить про те, що цей предикат розумності задовольняється саме тими моделями, які мають багаточлен перекладу часу на машину Тюрінга. Як аксіома, це не є фальсифікованим у сенсі того, що наша теорія може суперечити їй, доки теорія була послідовною для початку, але обґрунтованість нашої теорії є фальсифікованою: можливо, існує розумна модель обчислення, яка не пов'язана з Машини Тюрінга шляхом багаточленного перекладу за часом. Якщо допустити, що це гіпотетичне відкриття може спричинити за собою зміну думок про те, що є розумним, саме так я бачу формальну сторону. Зрештою, це здається тривіальним, але я думаю, що це важливий момент для відмежування математики від усього іншого.

$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BPP}$$\text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{BPP}$$\text{BQP}$$\text{P}$

Наприклад, припустимо, що я стверджую, що створив машину, яка визначає числа і що її час виконання задовольняє певний поліном. Машина знаходиться у коробці, ви подаєте номер, записаний на паперовій стрічці, і вона виводить фактори. Немає сумніву, що це працює, оскільки я використовував його для перемоги в проблемах RSA, конфіскації криптовалюти, фактор великої кількості на ваш вибір і т. Д. Що в коробці? Це якийсь дивовижний новий тип комп'ютера, чи це звичайний комп'ютер, на якому працює якийсь дивовижний новий тип програмного забезпечення?

$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME}$$\text{P}_\text{CTC} = \text{PSPACE}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{PSPACE}$

$\text{P} \neq \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{P}_\text{CTC}$$\text{P} = \text{NP}$$\text{ECTT}$$\text{ECTT}$$\text{NP}$$\text{3SAT}$$\text{P}$

$\text{EXPTIME}$$\text{ECTT}$$\text{EXPTIME} \neq \text{P}$$\text{ECTT}$

$\text{ECTT}$$\text{P} = \text{BPP}$$\text{ECTT}$$\text{P} \neq \text{BQP}$

$\text{ECTT}$$\{\in\}$$\text{ECTT}$$\{\in\}$

$\text{ECTT}$