Пошук відповідності, скорочення якого мінімізує кількість дуг у графіку

З огляду на змішаний графік $G=(V,E,A)$ з ребрами $E$ і дугами $A$ , знайдіть відповідність у $E$ яка мінімізує кількість дуг у $G/M$ , де $G/M$ отримується від $G$ шляхом стискання узгоджених вершин і видалення паралельні дуги.

Чи (версія рішення) ця проблема не є повною? Чи вивчено це в літературі?

Я не знаю, чи ви маєте намір дозволити паралельні ребра в Е та дуги в А бути паралельними чи ні, але це зрештою не має значення. У цій відповіді ми припускаємо, що ви не дозволяєте ребрам і дугам бути паралельними.

Розглянемо окремий випадок, коли для кожної дуги в A , A також міститься дуга у зворотному напрямку. У цьому випадку ми можемо ігнорувати орієнтацію дуг і вважати їх непрямими. Краї ми називаємо E чорними краями, а краї - A червоними краями .

Навіть при цих двох обмеженнях проблема не заповнена NP зменшенням від Max-2SAT. Нехай φ - формула 2CNF в n змінних з m- пропозиціями. Побудуйте графік G з 3 n вершин v 1 , … , v n , x 1 , … , x n , ˉ x 1 , … , ˉ x n наступним чином. G має 2$x_1,\dots,x_n$$v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$n чорних ребер: і ( v i , ˉ x i ) для i = 1,…, n . G має червоних ребер. Спочатку з'єднайте та for i ≠ j червоним краєм. Далі для кожної різної змінної та розглянемо чотири пари літералів . Підключіть літерали$(v_i,x_i)$$(v_i,\bar{x}_i)$vivjxixj(l,l′)=(xi,xj),(xi, ˉ x j),( ˉ x i,xj),( ˉ x i, ˉ x j)ll′( ˉ l$5\binom{n}{2}-m$$v_i$$v_j$$x_i$$x_j$$(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$$l$і червоним краєм, якщо і лише тоді, якщо пункт не відображається у φ .$l'$$(\bar{l}\vee\bar{l}')$

Зрозуміло, що нам потрібно лише враховувати максимальні відповідність чорних країв, щоб мінімізувати кількість червоних ребер після стиснення. Зрозуміло також, що кожна максимальна відповідність M у чорних ребрах складається з n ребер, що з'єднують з для i = 1,…, n . Визначте це максимальне відповідність M із призначенням істини . Неважко перевірити, що після стискання M та видалення паралельних ребер графік має рівно червоні ребра, де kl i ∈ { x i , ˉ x i } { l 1 , … , l n } 4 ($v_i$$l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$$\{l_1,\dots,l_n\}$$4\binom{n}{2}-k$- кількість пунктів, задоволених цим присвоєнням істини. Отже, мінімізація кількості червоних країв після укладання відповідних чорних країв рівнозначна максимізації кількості задоволених пропозицій.