Розширення межі Черноффа

13

Я шукаю посилання (а не доказ, що я можу зробити) на наступне розширення Chernoff.

Нехай $X_1,..,X_n$ бути булевими випадковими змінними, не обов'язково незалежними . Натомість гарантується, що $Pr(X_i=1|C)<p$ для кожного $i$ та кожної події $C$ що залежить лише від $\{X_j|j\neq i\}$ .

$\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$

Спасибі заздалегідь!

reference-request pr.probability chernoff-bound

— цікавий
джерело

26

Те, що вам потрібно, - це узагальнена обмеження , яка передбачає лише для будь-якого підмножини S змінних індексів. Останнє випливає з вашого припущення, оскільки для , Імпальязцо та Кабанець нещодавно дали альтернативне підтвердження межі Чорноффа, включаючи узагальнене. У їхньому документі ви можете знайти всі відповідні посилання на попередню роботу: http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/papers/RANDOM2010.pdf $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$ $S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$

П (\underset{i \in S}{⋀} Х_{i}) = П (Х_{i_{1}} = 1) П (Х_{i_{2}} = 1 | Х_{i_{1}} = 1) \dots П (Х_{i_{| S |}} = 1 | Х_{i_{1}}, . . ., Х_{i_{| S | - 1}} = 1) \leq p^{| S |}

$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$

— Дана Мошковіц
джерело

Дякуємо за роз’яснення! Насправді їх стан має на увазі як те, що я маю, так і негативні кореляції. Отже, це справді якісно сильніше (я якось пропустив цей момент, коли почув розмову Валентина). Тепер доказ того, що мені потрібно, стає таким коротким, що я з радістю відзначаю своє запитання як відповідь, велике спасибі !!

— цікаво

3

У вашому випадку ви можете просто створити суб-мартингейл зі своїх змінних і використовувати той же ефект класичної нерівності Азуми. Для цього вам потрібно лише той який мається на увазі за вашим припущенням.

P r [X_{i} = 1 | X_{1}, \dots, X_{i - 1}] < p

$Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— Махді Черагчі

7

Найбільш близькими мені відомостями в літературі є розширення меж Черноффа до негативно корельованих випадкових змінних, наприклад, побачити це чи це . Формально ваш стан може бути задоволений без негативної кореляції, але ідея схожа.

Оскільки ваше узагальнення не важко довести, можливо, ніхто не переймався його написанням.

— Лев Рейзін
джерело

Ви маєте рацію, це було також найближче, що я знайшов (у "Концентрації ... для аналізу ... Алгоритмів"). Вся справа в тому, що мій рукопис стає занадто довгим, я б хотів уникнути ще одного відкручення, якщо це можливо. Якщо ні, у мене не буде вибору ...

— цікаво

3

ось до чого додаються додатки :)

— Лев Рейзін

2

Гей, хлопці, це було доведено і раніше, і я дав посилання у своїй відповіді (де ви також можете знайти всі інші відповідні посилання).

— Дана Мошковіц

На жаль - приголомшливий. Я якось не помітив вашої відповіді!

— Лев Рейзін

3

Альтернативною посиланням може бути лема 1.19 у Б. Doerr, Аналіз рандомізованої евристики пошуку: Інструменти теорії ймовірностей, Теорія евристики рандомізованого пошуку (А. Оже та Б. Доерр, ред.), World Scientific Publishing, 2011, с. 1- 20.

Простими словами, це показує, що коли з вірогідністю незалежно від того, на чому ви , тоді задовольняють усі межі Черноффа-Гоффдінга, які діють для незалежних двійкові випадкові величини з ймовірністю успіху відповідно. Доказ є елементарним, а результат природним, тому, я думаю, ніхто не відчував необхідності писати це. $X_i=1$ $p_i$ $X_1, \dots, X_{i-1}$ $X_1, \ldots, X_n$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $p_1, \ldots, p_n$

— Бенджамін Доер
джерело