Складність унікальної st-Connectivity

Мені хотілося б знати, чи можна вирішити наступну проблему в (недетермінованому просторі журналів):$\mathsf{NL}$

Враховуючи спрямований графік з двома розрізненими вершинами і , чи існує унікальний шлях від до в ?с $G$$s$$t$т $s$$t$$G$

Я відчуваю, що це, ймовірно, буде в оскільки ми можемо вирішити як наявність - шляху, так і якщо такого шляху немає. Тим не менше, підрахунок кількості таких шляхів є shar -hard (Valiant, 1979). s t ♯ $\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{\sharp P}$

Тож мої запитання: Чи є у вас посилання на це? Чи очевидно, що це в ? Або що його немає в ?N $\mathsf{NL}$$\mathsf{NL}$

Схоже , ваша проблема в . Ось алгоритм.$NL$

По-перше, недетерміновано здогадується шлях від до t . Якщо ви здогадалися неправильно, відхиліть . Назвіть цей алгоритм A .$s$$t$$A$

Розглянемо наступний недетермінований алгоритм , який визначає, чи є принаймні два шляхи. Давши графік і s , t , для всіх пар різних країв e , f відгадайте шлях від s до t, що включає e, але не f , а потім вгадайте шлях від s до t, що включає f, але не e . Якщо здогадки вірні, прийміть . Якщо для всіх варіантів e і f не відбувається прийняття , відхиліть . Примітка $B$$s,t$$e,f$$s$$t$$e$$f$$s$$t$$f$$e$$e$$f$$B$ реалізується в недетермінованому просторі журналів.

Тепер множина - це безліч s - t графіків, що мають принаймні два шляхи від s до t . Оскільки N L = c o N L , доповнення B також знаходиться в N L , тобто ми можемо визначити, якщо s і t мають менше двох шляхів, у недетермінованому просторі журналів.$L(B)$$s$$t$$s$$t$$NL = coNL$$B$$NL$$s$$t$

Остаточний алгоритм: "Виконати Якщо А приймає, то запустіть додаток B і виведіть його відповідь."$A$$A$$B$

Я не знаю посилання.

ОНОВЛЕННЯ: Якщо ви дійсно хочете посилання, перегляньте перший абзац розділу 3 цього документу . Але це, мабуть, лише одна з багатьох посилань, які цитують цей наслідок. Було б розумніше назвати результат "фольклором", а не цитувати папір, який трапляється згадувати.

ОНОВЛЕННЯ 2: Припустимо, ви хочете визначити, чи існує унікальний простий шлях. У такому випадку алгоритм не повинен змінюватися: якщо шлях взагалі є, то існує простий шлях. Я вважаю , що наступна модифікація буде працювати для алгоритму B .$A$$B$

Ми хочемо переписати алгоритм так, щоб він приймав, якщо є щонайменше два простих шляху.$B$

Спочатку розглянемо наступний поліноміально-часовий алгоритм проблеми. Знайдіть найкоротший шлях від s до t . Для кожного краю e в P перевірте, чи є інший шлях s - t , який не проходить через e . Якщо ви знайдете такий шлях, тоді прийміть . Якщо ви ніколи не знайдете іншого шляху, тоді відмовтесь . Оскільки P найкоротший, він не має циклу, і якщо є інший шлях, який не використовує деякий край P , то є інший шлях, який є простим і не використовує деякий край $P$$s$$t$$e$$P$$s$$t$$e$$P$$P$$P$. (Цей алгоритм використовується для проблеми "другий найкоротший шлях".)

Ми реалізуємо цей алгоритм . Якби у нас був алгоритм N L для запиту ребер e на фіксованому шляху P , ми могли б реалізувати вищезазначене у недетермінованому просторі журналів: ітерація через усі ребра e в P , вгадайте шлях s - t і перевірте, що для кожного краю, відвіданого вздовж Таким чином, жодна з них не дорівнює e .$NL$$NL$$e$$P$$e$$P$$s$$t$$e$

Отже, нам потрібен "oracle oracle", алгоритм зі властивістю: заданий i = 1 , ... , n , у кожному обчислювальному шляху алгоритм або повідомляє i- й край на певному фіксованому s - t шляху, або відкинути . Ми можемо отримати оракул шляху, використовуючи N L = c o N L для виділення лексикографічно першого шляху.$NL$$i=1,\ldots,n$$i$$s$$t$$NL=coNL$

Ось ескіз оракула шляху.

Знайти , довжина найкоротшого шляху від S до т , намагаючись все до = 1 , ... , п і використовуючи N L = C ущільнювача N L .$k$$s$$t$$k=1,\ldots,n$$NL=coNL$

Встановити змінні , x : = 1 , j : = k .$u:=s$$x:=1$$j:=k$

Для всіх сусідів з U в лексикографічному порядку,$v$$u$

Визначте, чи існує шлях від до t довжиною j - 1 (використовуючи результат N L = c o N L ). Точніше, запустіть недетермінований алгоритм для s - t підключення (довжини j - 1 ) та алгоритм його доповнення одночасно. Коли один з них приймає, перейдіть із його відповіддю (він повинен бути правильним; обидва не можуть прийняти). Якщо обидва відхилити, то відхиліть .$v$$t$$j-1$$NL=coNL$$s$$t$$j-1$

Якщо шляху немає, переходите до наступного сусіда. Якщо ви виснажили всіх сусідів, тоді відмовтеся .

Якщо є шлях, то якщо , виведіть ( u , v ) як i- й край на шляху від s до t . В іншому випадку збільшення x , decrement j , встановіть u : = v , і знову запустіть цикл for, якщо v ≠ t .$x=i$$(u,v)$$i$$s$$t$$x$$j$$u := v$$v \neq t$

Якщо після досягнення t виходу погано, я (заданий я був занадто великим).$x < i$$t$$i$$i$

Враховуючи , цей алгоритм або виводить i- й край на лексикографічно найкоротшому шляху P від s до t , або відхиляє.$i$$i$$P$$s$$t$