Чутливість властивостей графіка

У [1] Туран показує, що чутливість (яка називається "критична складність" у роботі) властивості графа суворо більша, ніж де - кількість вершин у графі. Він продовжує вважати, що будь-яке нетривіальне властивість графа має чутливість . Він згадує, що це було перевірено для . Чи був досягнутий прогрес у цій гіпотезі?m≥m-1m≤$\lfloor {1\over 4} m \rfloor$$m$$\geq m-1$$m \leq 5$

Фон

Нехай - двійковий рядок у . Визначте для - рядок, отриманий з , перевернувши біт . Для булевої функції \ to визначте чутливість при як. І, нарешті, визначити чутливість з як .{ 0 , 1 } n x i 1 ≤ i ≤ n x i t h f : { 0 , 1 } n { 0 , 1 } f x s ( f ; x ) : = | { i : f ( x ) ≠ f ( x i ) } $x$$\{0,1\}^n$$x^i$$1 \leq i \leq n$$x$$i^{th}$$f: \{0,1\}^n$$\{0,1\}$$f$$x$$s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$s ( f ) : = max$f$$s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

Граф властивість $\mathcal P$ являє собою набір графіків, що якщо $G \in \mathcal P$ і $G'$ ізоморфна $G$ , то $G' \in \mathcal P$ . Ми можемо вважати властивість графіка $\mathcal P$ як об'єднання властивостей $\mathcal P_m$ де $\mathcal P_m$ - це підмножина $\mathcal P$ що складається з графіків з $m$ вершин. Далі ми можемо уявити властивість графіка $\mathcal P_m$ як булева функція на $\{0,1\}^n$ де $n = {m \choose 2}$ . Ми можемо кодувати графік на $m$ вершин у двійковому векторі довжини$n$ ; кожному запису у векторі відповідає пара вершин і запис якщо цей край присутній у графіку. Таким чином, чутливість властивості графа - його ква- булева функція чутливості .$1$

1. Туран Г., Критична складність властивостей графіків, Листи з обробки інформації 18 (1984), 151-153.

Дослідження, на яке вказував Суреш, піднімає документ Вегенера [1], який частково підтверджує здогадку. Він справедливий для всіх монотонних властивостей графіка, а нерівність є щільною (врахуйте властивість "Не має ізольованих вершин"). Будуть також вдячні будь-які новітні результати.

1. Вегенер, Л. Критична складність усіх (монотонних) булевих функцій та властивостей монотонного графа. Інформація та контроль , 67: 212-222, 1985.