Складність рангу тензора над нескінченним полем

Тензор є узагальнення векторів і матриць на більш високі розміри і ранг тензора також узагальнює ранг матриці. А саме, ранг тензора є мінімальним числом рангу один тензорів цієї суми . Вектор і матриця є тензорами ступеня 1 і 2 відповідно. $T$ $T$

Елементи в надходять з поля . Якщо є кінцевим, то Хестад довів, що вирішуючи, чи є ступінь тензора ступеня 3 не більше є NP-повним, але коли є нескінченним полем, як раціоналі , він не дає (або цитує) верхньої межі. $T$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $r$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{Q}$

Запитання: Яка найвідоміша верхня межа складності прийняття рішення, якщо ранг ступеня 3 тензора над не більше ? $T$ $\mathbb{Q}$ $r$

— Тайсон Вільямс
джерело

Чи ранг ступеня три тензора над ℚ такий же, як і чин того ж тенора над ℝ? Якщо так, то проблема може бути сформульована як особливий випадок теорії екзистенціалу реальних дій, і тому лежить у PSPACE.

— Цуйосі Іто

Ідея в моєму попередньому коментарі не спрацює, оскільки звання ступеня три тензора над ℚ іноді відрізняється від рангу того ж тензора над ℝ. Нехай {x, y} є основою двовимірного векторного простору, а розглянути тензор 2x⊗x⊗x + x⊗y⊗y + y⊗x⊗y + y⊗y⊗x. Не важко помітити, що його ранг понад ℝ два, але його ранг ℚ більший, ніж два. (Цей приклад був отриманий, модифікуючи приклад, який показує, що ранг понад be може відрізнятися від рангу над ℂ в Крускалі 1989 р .)

— Цуйосі Іто

@Tsuyoshi Ito Я повністю згоден. Я також не можу знайти жодної верхньої межі.

— Тайсон Вільямс

Я думаю, що краще запитати обчислюваність перед складністю.

— Цуйосі Іто

Тривіальний UpperBound є те , що се Håstad також доводить , в тій же статті , що проблема

над

. Наступна загальна проблема є цілковитою: зважаючи на частково заповнений тензор, чи є добудова його, що має ранг

N P - h a r d

$\mathsf{NP\text{-}hard}$

Q

$\mathbb{Q}$

\leq r

$\leq r$

— Каве

Відповіді:

Про це є нещодавній препринт: http://galton.uchicago.edu/~lekheng/work/np.pdf . Це показує , що більшість рангу питань , пов'язаний з тензорами NP важко над і . (Він також згадує, що вирішити ранг над є важким NP.) $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$

— Барт
джерело

Барт, цей додрук (від Гіллара та Ліма) надзвичайний ... дуже дякую.

— Джон Сідлз

Приємно. Однак я не розумію цього речення: "Хоча результат Хестада стосується

Q

$\mathbb{Q}$ і

, цей вибір полів не має сенсу для всіх, крім однієї з перерахованих вище проблем (винятком є білінеарна система рівнянь), оскільки це аналітичні задачі лише чітко визначені над повним полем характеристики 0 з абсолютним значенням. Серед таких полів на сьогоднішній день

є найпоширенішими в додатках, і тому ми обмежимося нашими дискусіями цими полями ".

F_{q}

$\mathbb{F}_q$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— Тайсон Вільямс

Однією з проблем, про яку йдеться у цитаті вище, є ранг. Чи говорять ці автори, що ранг тензора недостатньо визначений протягом

Q

$\mathbb{Q}$

— Тайсон Вільямс

@Tyson: Я думаю, що автори просто хочуть сказати, що для багатьох числових застосувань (часткові диференціальні рівняння, обробка сигналів) потрібно робити обчислення в

R

$\mathbb{R}$ або

. Будучи числовим аналітиком себе, я не бачу багато додатків , визначених на

. Вони не означають , що ранг некоректно визначено на

C

$\mathbb{C}$

Q

$\mathbb{Q}$

Q

$\mathbb{Q}$

— Барт

Хоча це справді була єдиною відповіддю (оскільки Джон мав на увазі його коментарем), я все ж вважаю, що ця відповідь заслуговує на винагороду, оскільки вона надала орієнтир, який демонстрував жорсткість щодо інших важливих нескінченних полів (реальні та комплекси). Як випливає з назви мого питання, мені цікаво нескінченне поле взагалі, але я вирішив запитати про раціоналів, щоб мати питання з конкретною відповіддю. Я все одно виберу ще одне питання як прийняту відповідь, якщо хтось може надати верхню межу (або показати, що це непорушно).

— Тайсон Вільямс

Книга " Перспективи в обчислювальній складності: Том ювілею" Somenath Biswas ", опублікований цього літа (липень 2014 р.), Значною мірою узгоджується з консенсусом, який ми дійшли тут. На сторінці 199 написано:

Наскільки мені відомо, він навіть не відомо , буде чи [завдання обчислення тензорного рангу] над можна вирішити. Над ситуація дещо краща ... Проблема вирішується і навіть у PSPACE, оскільки її можна звести до екзистенціальної теорії реальних дій. $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$

— Тайсон Вільямс
джерело

Нещодавній препринт також підтверджує це: arxiv.org/pdf/1612.04338v1.pdf . (Дивіться таблицю на сторінці 3.)

— Гек Беннетт

Примітка . Текст, поданий нижче, мав на увазі коментар… це, безумовно, не відповідь, а скоріше прагматичне спостереження, яке виникло в результаті переробки принципів магнітного резонансу Чарлі Сліхтера мовою симплектичної геометрії та квантової теорії інформації (яка відступає назад природно на простори тензор-добутку поліномального рангу). В даний час ми маємо часткове геометричне розуміння цих тензорних рангових методів, граничне квантове інформатичне розуміння, по суті не складне теоретичне чи комбінаторне розуміння, а робоче (але багато в чому емпіричне) обчислювальне розуміння.

Ми дуже зацікавлені розширити, поглибити та уніфікувати це розуміння, і тому ми сподіваємось, що інші люди опублікують подальші відповіді / коментарі з цього приводу.

Наш практичний обчислювальний досвід був таким, що оцінює рівень

генерується простежити методами крутого спуску ... як ми розуміємо, ця стійкість виникає з геометричної причини, а саме голоморфної теорії бісектрисної кривизни Гольдберга та Кобаяші. Це далеко не суворий доказ, зайве говорити.

C

$\mathbb{C}$

— Джон Сідлз
джерело

Чи легко викласти цю теорему? Якщо ні, чи можете ви надати посилання на хорошу заяву та пояснення?

— Тайсон Вільямс,

@Tyson: Я думаю, Джон говорить про свій досвід вирішення прикладів проблеми, а не про теорему.

— Джо Фіцсімонс

Ви запитали його про теорему, і він, схоже, не говорить про неї. Я просто думав, що ти зрозумів його неправильно.

— Джо Фіцсімонс

Насправді я подумав, що опублікував коментар і здивувався, побачивши це як відповідь. До! Я щойно відредагував це, щоб додати посилання, але все-таки це дуже далеко від задовільної відповіді. Чудове запитання Тайсона Вільямса! :)

— Джон Сідлз

@Joe Він згадав про голоморфну бісектрисну кривизну кривизни Гольдберга та Кобаяші, тому я запитав його про це. Я не впевнений, чи це означає, що я його неправильно зрозумів чи ні.

— Тайсон Вільямс,