Кількість класів еквівалентності у звичайних мовах у залежності від розміру DFA

Це питання пов'язане з недавнім питанням по Janoma .

Фон

У програмуванні обмежень, A регулярне глобальне обмеження над областю є пара з кортежем змінних (про масштаб) і ДКА над областю . Призначення до задовольняє якщо приймає рядок .$c$$D$$(s, M)$$s$$M$$D$$\theta$$s$$c$$M$$\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$

Нижче припустимо, що домен фіксований. Визначте відношення еквівалентності над набором рядків таким чином, що якщо для кожного DFA або або . Інтуїтивно два рядки є рівнозначними, якщо DFA не може їх розрізнити. Якщо це правда, то вони також задовольняють однакові регулярні обмеження.$D$$\sim$$T = D^{|s|}$$a \sim b$$M$$a, b \in L(M)$$a, b \not\in L(M)$

Якщо ми жодним чином не обмежуємо DFA, то набір класів еквівалентності є просто самим. Мене цікавить кількість класів еквівалентності wrt. як функція від числа станів які ми допускаємо для DFA. Зрозуміло, що якщо (ігнорувати константи), то. (Зрозуміло, тут само по собі буде функцією .)$T/{\sim}$$T$$\sim$$n$$n = |D|^{|s|}$$|T/{\sim}| = |T|$$n$$|s|$

Запитання

1. Який найменший для якого?$n$$|T/{\sim}| = |T|$
2. Що відбувається нижче цього? Зокрема,
   • чи є такий, що ?$n$$|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$
   • чи є такий, що ?$n$$|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$

Моя мотивація до цього питання полягає в тому, що наявність полінома ( ) кількості класів еквівалентності, як це, дала мені очевидний випадок проблем з обмеженнями з обмеженнями кардинальності. Зараз я намагаюся зрозуміти, чи можна зробити щось у цьому напрямку для регулярного обмеження.$|s|^{|D|}$

Edit : Зверніть також увагу ця відповідь на Hermann Gruber на питання посилається на самому верху. Межі в документі посилань відповіді повинні мати так що відповідь на питання 1 має бути , але мені це не очевидно.$k$$\geq k$

Відповідь на питання 1,

Який найменший для якого?$n$$|T/{\sim}|=|T|$

У нас де - найменша кількість у будь-якій DFA, яка приймає одну з і , але не іншу. Найвідоміша верхня межа на - тоді (див. Слайди Джеффрі Шалліта )

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$ .

який був отриманий в

Робсон, Дж. М. , Відокремлення рядків з невеликими автоматами , Інф. Процес. Лет. 30, № 4, 209-214 (1989). ZBL0666.68051 .