Очікувані значення складності Колмогорова у випадковій вибірці

Колмогорова складність рядка не обчислюється. Однак у випадковому підмножині розміру двійкових рядків довжиною скільки очікується, що їх складність буде меншою, ніж якесь ціле число менше (як функція , та )? $M$ $n$ $n_{0}$ $n$ $M$ $n$ $n_{0}$

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

— проти
джерело

Ви використовуєте тут «стандартну» складність Колмогорова чи складність префікса?

— Обрі да Кунья

Насправді я думав лише про складність Колмогорова. Я здогадувався про зв'язок про який згадується домоторп, коли ми розглядаємо всесвіт усіх рядків. Я не ясно , якщо якийсь - або «відповідає» результат для довільного випадкового підмножини розміру може бути отриманий. Однак складність префіксу приведе нас до іншого погляду?

2^{n_{o}}

$2^{n_{o}}$

M

$M$

— проти

Це, безумовно, не змінило б порядок, адже я думаю, що зараз моя відповідь є обома версіями.

— domotorp

Для кожного та кожного ймовірність того, що випадкова -бітна рядок має складність Колмогорова , більша за (при ) . Отже, у випадковому розподілі рядків слід очікувати, що рядки з ... інтуїтивно, дуже висока ймовірність вибрати рядок з високою складністю Колмогорова.

n

$n$

c

$c$

n

$n$

x

$x$

K (x) \geq n - c

$K(x) \geq n-c$

1 - \frac{1}{2^{c}}

$1 - \frac{1}{2^c}$

c = n - n_{0}

$c = n-n_0$

M

$M$

\frac{M}{2^{(} n - n_{0})}

$\frac{M}{2^(n-n_0)}$

K (x) < n_{0}

$K(x) \lt n_0$

— Marzio De Biasi

Відповіді:

Складність Колмогорова визначається лише до деякої адитивної константи, тому точну відповідь неможливо дати. Межа, яку я тут описую, ще слабша.

Звичайно, очікуване число можна легко обчислити, коли ми дізнаємося, скільки з рядків мають складність менше , тому дозвольте мені відповісти на це. Зазвичай перше твердження про складність Колмогорова полягає в тому, що це число не більше - оскільки існує лише ці багато рядків меншої довжини. З іншого боку, якщо у вашій програмі написано "довжини , візьміть го числа", то ви отримаєте рядки складності менше , де - без префіксу версія складності Колмогорова (так щонайбільше $2^n$ $n_0$ $2^{n_0}-1$ $n$ $x$ $2^{n_0-K(n)-C}$ $n_0$ $K(n)$ $n$ $\log n+\log^* n + O(1)$ ). Більш детально, рядок спочатку містить опис машини Тьюрінга, яка приймала введення , де p - опис програми без префіксів, яка виводить , виводить е число довжини , яке становить біт , а потім за цим слідує . $px$ $n$ $x$ $n$ $O(1)$ $px$

Можливо, можна покращити ці межі, але я сумніваюся, що ви могли б отримати точну відповідь.

— домоторп
джерело

Чи можете ви пояснити трохи про фразу ", якщо у вашій програмі написано" довжини n, візьміть x число "?

— проти

Ви маєте рацію, вона повинна бути без префіксу, я її виправив.

— domotorp

Точну відповідь можна дати. Кількість рядків довжиною з (простою) складністю не більше становить , аж до постійного коефіцієнта. Отже, будь-який процес, який випадковим чином вибирає підмножину, матиме з обґрунтованою ймовірністю частку рядків складності менше . Для того, щоб показати наше наше твердження, досить показати , що число рядків зі складністю рівним для запиті також надсилається . Ми можемо показати необхідний результат, визначивши підсумовування цього значення за від 1 до $n$ $n_0$ $2^{n_0 - K(n_0|n)}$ $2^{-K(n_0|n) + O(1)}$ $n_0$ $k$ $2^{k - K(k|n)}$ $k$ $n_0$ . Щоб показати це, ми використовуємо результат адитивності для простої складності (завдяки Б. Баувенсу та А. Шен. Теорема адитивності для простої складності Колмогорова . Теорія обчислювальних систем, 52 (2): 297-302, лют. 2013), Тут позначає складність Колмогорова без префіксу. Вибираючи , ми спостерігаємо, що для кожної -бітної рядок складності маємо Отже, для кожного такого маємо . Нехай

С (а, б) = К (а | С (а, б)) + С (б | а, С (а, б)) + О (1) .

$C(a,b) = K(a|C(a,b)) + C(b|a,C(a,b)) + O(1).$

K (\cdot)

$K(\cdot)$

a = n

$a = n$

n

$n$

b

$b$

k

$k$

k = C (b) = C (n, b) + O (1) = K (n | k) + C (b | n, k) + O (1) .

$k = C(b) = C(n,b) + O(1) = K(n|k) + C(b|n,k) + O(1).$

b

$b$

C (b | n, k) = k - K (n | k) + O (1)

$C(b|n,k) = k - K(n|k)+O(1)$

k^{'} = k - K (n | k)

$k' = k - K(n|k)$ . Тепер можна помітити, що є максимум таких рядків , і кожна з лексикографічно перших рядків довжиною задовольняє . Таким чином з них задовольняє .

O (2^{k^{'}})

$O(2^{k'})$

b

$b$

2^{k^{'}}

$2^{k'}$

n

$n$

C (b | n, k) \leq k^{'} + O (1)

$C(b|n,k) \le k' + O(1)$

Ω (2^{k^{'}})

$\Omega(2^{k'})$

C (b | n, k) = k^{'} + O (1)

$C(b|n,k) = k' + O(1)$

— Бруно Баувенс
джерело