Проблеми поза P, які не є важкими

Читаючи відповідь Пітера Шор та попереднє запитання Адама Крюма, я зрозумів, що у мене є помилки щодо того, що означає бути -hard.$\mathsf{P}$

Проблема - тверда, якщо будь-яка проблема в зводиться до неї за допомогою (або якщо ви віддаєте перевагу ) скорочення. Проблема знаходиться поза межами якщо не існує поліноміального алгоритму часу для її вирішення. Це означає, що повинна бути проблема, яка знаходиться поза але не є -hard. Якщо припустити, що ФАКТОРИНГ знаходиться поза , то відповідь Петра Шорка говорить про те, що ФАКТОРИНГ може бути такою проблемою.$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{L}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Чи існують відомі проблеми (природні чи штучні), які, як відомо, лежать поза але не є P- твердими? Що з припущеннями, слабшими за припущення факторингу? Чи існує назва цього класу складності?$\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

Якщо то жоден розріджений набір (навіть не обчислюваний) не може бути P - h a r d .$\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$$\mathsf{P\text{-}hard}$

Помилкове уявлення походить від роздумів про класи складності (та обчислювальні задачі) як про створення лінійного порядку, що не відповідає дійсності. Використання слова «твердість» для проблеми може бути використане для вирішення інших проблем у класі також сприяє неправильному уявленню. Нижня межа для проблеми (тобто не в класі складності) не означає, що проблема є складною для класу (тобто може бути використана для вирішення інших задач у класі). Я не знаю, чи існує краща альтернативна термінологія для "твердості", яка використовується в даний час, та, яка застосовувалася в попередні десятиліття, - "універсальність" (яка, ІМХО, висловлювала цю концепцію більш вірно, і тоді ми могли б використати "твердість" відсутності в класі, але змінити усталену термінологію дуже складно).

Я думаю, ви можете побудувати набір не в який не є P- твердим аргументом у стилі Ладнера. Ось конкретний приклад.$P$$P$

У своїй праці "Уніфікований підхід до отримання діагональних наборів у класах складності" (Theor. Comp. Sci. 18, 1982) Шеннінг доводить таке:

Теорема Припустимо, що , A 2 ∉ C 2 , C 1 і C 2 є рекурсивно представленими класами складності і закриті в кінцевих варіаціях. Тоді існує множина A така, що A ∉ C 1 , A ∉ C 2 , а якщо A 1 ∈ P і A 2 не є тривіальним (порожній набір або всі рядки), то A є багатопоточним багато-один зводиться до A 2 .$A_1 \notin C_1$$A_2 \notin C_2$$C_1$$C_2$$A$$A \notin C_1$$A \notin C_2$$A_1 \in P$$A_2$$A$$A_2$

Щоб застосувати це, встановіть порожнім набором, а A 2 - E X P -комплект за скороченням поліметрії, множина C 1 - це набір P -твердих множин, що знаходяться в E X P , безліч C 2 = P . Порожній набір не може бути P -hard (визначення P- твердості для мови вимагає, щоб у мові був принаймні один екземпляр, а один екземпляр не в). A 2 точно не є в C 2 . З 1 і$A_1$$A_2$$EXP$$C_1$$P$$EXP$$C_2 = P$$P$$P$$A_2$$C_2$$C_1$ можна перевірити, щоб відповідати вищевказаним умовам (подібно до того, як Schoening робить це для N P- незавершених наборів; див. Такожце пов'язане питання). Таким чиномми отримуємо А , який не є P -Жорсткий проблеми в Е X Р , і щоне в P . Але оскільки 1 ∈ P і 2 нетривіально,безліч, один приводиться до E X P -повне безліч, так що в Е X Р . Тому, зокрема,$C_2$$NP$$A$$P$$EXP$$A$$P$$A_1 \in P$$A_2$$A$$EXP$$EXP$$A$не може бути і твердим.$P$

У наведеному вище аргументі обмеження твердих задач в E X P необхідно для забезпечення рекурсивної презентабельності, оскільки проблеми P-hard в цілому не є рекурсивно презентабельними і навіть не піддаються обліку . Тепер "природні" приклади цього - це інша історія ...$P$$EXP$

Інший спосіб генерувати проблеми, які знаходяться поза P, але не є P-hard - це прийняти повні проблеми для класів, непорівнянних з P. Скажімо, клас X незрівнянний з P, в тому сенсі, що жоден не є підмножиною іншого. Тоді проблема, повна X, обов'язково знаходиться поза P (інакше P включатиме X) і не є P-жорсткою (інакше X буде включати P).

Я намагався думати про деякі класи, непорівнянні з P, але P - досить міцний клас, тому таких класів не надто багато. Наприклад, RNC і QNC можуть бути непорівнянними з P. DSPACE ( ) також може бути непорівнянним з P. PolyL є непорівнянним з P, але не має повних проблем при скороченні простору журналу.$\log^2$