П’яні птахи проти п’яних мурашок: випадкові прогулянки між двома та трьома вимірами

Добре відомо, що випадкова прогулянка по двовимірній сітці повернеться до початку початку з ймовірністю 1. Також відомо, що той самий випадковий хід у ТРИХ розмірах має ймовірність суворо меншу, ніж 1 повернення до початку .

Моє запитання:

Чи є щось середнє? Наприклад, припустимо, що мій простір був насправді обмеженою областю площини, видавленою до нескінченності в напрямку z. (що часто називають 2,5вимірним). Чи застосовуються двовимірні результати, або тривимірні?

Це з'явилося в дискусіях, і один евристичний аргумент, який говорить про те, що він поводиться двовимірно, полягає в тому, що оскільки кінцева область площини в кінцевому підсумку буде покрита, єдиною нетривіальною частиною прогулянки є 1 розмірний промінь вздовж напрямку z, і так повернення до походження станеться.

Чи є інші фігури, які інтерполюються між дво- та тривимірним випадком?

Оновлення (витягнуте з коментарів): відповідне запитання було задано щодо МО - короткий підсумок: якщо хода є рівномірною (2 + ϵ) розмірною, то невизначене повернення випливає з розбіжної серії. Однак, вищезазначене питання дещо відрізняється від IMO, оскільки я запитую про інші види фігур, які могли б визначити певну віддачу.

Про це ймовірність дерев і мереж за Перес і Ліон згадує це у розділі 2 (стор. 50):

$\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}^3$

$$W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$$

$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$$n(f(n)+1)$

$$\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$$

є достатнім для рецидиву.

3-D випадкова прогулянка в просторі 3x3x3 (як куб рубіка) має ймовірність менше, ніж один повернутися до початкового місця, якщо прогулянка починається зовні; але простір 2x2x2 - це один, як і простір 3x3x3 з початком у центрі. Тож здається, що є якісь проміжні форми, але, можливо, не дуже багато.