FPT vs W [P] - параметризована складність

У параметризованій складності . Можна припустити, що кожне з контейнерів є належним. $\mathsf{FPT} \subseteq \mathsf{W}[1]$ $\subseteq \mathsf{W}[2]$ $\subseteq \ldots \subseteq \mathsf{W}[P]$

Якщо то . $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$ $\mathsf{P}=\mathsf{W}[P]$

Але чи випливає це

Якщо то ? або $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[1]$ $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$
Якщо (для деякого t), то ? $\mathsf{W}[t-1]=\mathsf{W}[t]$ $\mathsf{FPT}=\mathsf{W}[P]$

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Uéverton dos santos souza
джерело

Що означає позначення "W []"?

— Тайсон Вільямс

Чи означає друге питання "для всіх t" чи "для деякого t"?

— Йосіо Окамото

Друге питання означає «для деяких t»

— Uéverton dos santos souza

Ви не є корисним запитувачем. Ви не включили визначення чи посилання на W-ієрархію, навіть якщо хтось запитав вас про це. Відповідь на ваші запитання, ймовірно, "обидва є відкритими" через характеристику W-ієрархії як сімейства модифікованих ланцюгів AC0 - колапс W-ієрархії означатиме крах складності ланцюга. (Це вважається свідченням того, що кожен рівень ієрархії W є належним підгруппою наступного.) Але мені доведеться перевірити деякі речі, щоб опублікувати відповідь (не моя область), і ви не сприймаєте це питання серйозно.

— Аарон Стерлінг

Параметризована задача (L, K) належить W [t], якщо існує k ', обчислена з k така, що (L, K) зводиться до задаченої ваги k' задачі для схем качка-t. [Downey, 1997] [Downey, 1997] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Kenneth W. Regan; Серія звітів про дослідження Параметризована складність ланцюга та ієрархія W; Центр дискретної математики та теоретичних інформатик; 1997.

— Uéverton dos santos souza

Це питання є складним, оскільки відповідь (наскільки я знаю) все ще "не знаю".

Щоб додати певної ваги цьому, Flum & Grohe [1] наводять як відкриті проблеми (стор. 164):

Чи -ієрархія сувора за припущенням ? $\mathrm{W}$ $\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W[P]}$

Для , робить рівність мають на увазі ? $t \geq 1$ $\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 1]$ $\mathrm{W}[t] = \mathrm{W}[t + 2]$

Більше того, в останній монографії Дауні та Флое [2] найсильніша (відверта) заява, яку вони роблять (стор. 521):

Більш тонка гіпотеза полягає у тому, що -ієрархія правильна, і, зокрема, . $\mathrm{W}$ $\mathrm{W}[1] \neq \mathrm{W}[2]$

Немає наступного (або пізнішого) твердження у рядках "інакше -ієрархія згортається" або подібне. $\mathrm{W}$

Цьому також передують:

Більш слабкою гіпотезою може бути те, що для деякого , $t$
$F P T \neq W [t]$ $\mathrm{FPT} \neq \mathrm{W}[t]$

Маючи на увазі, що можливо, що без інших впливів на ієрархію. $\mathrm{FPT} = \mathrm{W}[t-1]$

Список літератури:

Дж. Флум та М. Грое, "Теорія параметризованої складності", Спрингер, 2006.
Р. Дауні та М. Співробітники, "Основи теорії параметризованої складності", Спрингер, 2014.

— Люк Матієсон
джерело