Оптимальна попередня обробка для певних типів запитів

Припустимо, у нас є напівгрупа з елементами . Наша мета - обчислити продукти .$(S,\circ)$$S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

У своїй роботі "Оптимальна попередня обробка відповідей на запити в Інтернеті" Алон і Шибер доказують, що ми можемо відповідати на кожен такий запит не більше ніж на кроки (де - зворотна функція Ackermann), використовуючи лише лінійна кількість попередньої обробки.$O(\alpha(n))$$\alpha$

Якщо бажано, щоб на кожен запит можна було відповісти на , чи можна це зробити лише за допомогою лінійної попередньої обробки?$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$$O(\log(j-i))$

(Це питання натхнене цим останнім запитанням Брендана Маккея в Mathoverflow.)

Побудуйте впорядковане збалансоване двійкове дерево з у листках (по порядку). У кожному внутрішньому вузлі v зберігають добуток листя піддерева, вкоріненого в v . Ця попередня обробка, очевидно, працює в O ( n ) час і простір.$s_1,\dots,s_n$$v$$v$$(n)$

Тепер, щоб обчислити добуток (де i < j ), переходимо дерево від i до найменш поширеного предка (LCA) з i та j . Зберіть продукти, що зберігаються у кожної правої дитини, що висить на шляху, виключаючи правильну дитину ДМС. Іншими словами, коли ви переходите з u до його батьківського v , якщо u - ліва дитина v , тоді виберіть продукт, що зберігається у правої дитини v . Аналогічно пройдіться від $s_i\circ\ldots\circ s_j$$i<j$$i$$i$$j$$u$$v$$u$$v$$v$$j$до ДМС і збирайте продукти, що зберігаються у дітей, які залишилися, що звисають із цього шляху. Помножити всі ці продукти, а також і сек J в порядку.$s_i$$s_j$