Доказна теорія біпродуктів?

Категорія має біпродукти, коли однакові предмети є і продуктами, і копродуктами. Хтось досліджував теорію доказів категорій з біпродуктами?

Мабуть, найвідоміший приклад - категорія векторних просторів, в якій пряма сума і прямі побудови продукту дають однаковий векторний простір. Це означає, що векторні простори та лінійні карти є дегенерованою моделлю лінійної логіки, і мені цікаво, як виглядатиме теорія типів, яка приймає це виродження.

— Ніл Кришнасвамі
джерело

Можливо, Cockett & Seely? Можливо, вступ до лінійних бікатегорій, або щось інше з math.mcgill.ca/~rags .

— Дейв Кларк

Можливо, "бі-" в "бі-продуктах" вводить в оману: це не якась 2-категоріальна річ, це просто те, що відбувається, коли одні і ті ж об'єкти є і продуктами, і копродуктами (плюс деякі умови узгодженості) у звичайних категоріях.

— Neel Krishnaswami

Можливо, їхній документ: FINITE SUM - ЛОГІКА ТОВАРІВ.

— Дейв Кларк

Трохи вироджене? Я вважаю, що ідентифікація продуктів та копродуктів передбачає ідентифікацію початкового та кінцевого об'єкта, які, як правило, порожні та однотонні типи, інтерпретуються відповідно як тривіальна неправда та істина. У лінійній логіці я думаю, що це руйнує всю додаючу половину логіки до самостійної подвійної операції з ідентичністю, яка знищує обидва множення. З іншого боку, мультиплікативний фрагмент має тенденцію бути більш конструктивною половиною лінійної логіки, тож, можливо, це і призводить кудись цікаво ...

— CA McCann

@camccann: Існує математика поза логікою. У комутативній алгебрі зазвичай погоджуються початковий та кінцевий об'єкт, а також копродукти та продукти. Наприклад, тривіальна абелева група є і початковою, і кінцевою. Об'єкт, який є і початковим, і термінальним, називається нульовим об'єктом. Погляньте на абелеві категорії, щоб зрозуміти, як це все працює.

— Андрій Бауер

Відповіді:

Ми з Самсоном Абрамським написали документ про теорію доказів компактних категорій з біпродуктами.

Абрамський, С. та Дункан, Р. (2006) «Категорична квантова логіка», Математичні структури в інформатиці 16 (3). 10.1017 / S0960129506005275

Пізніше ідеї були розроблені далі в цій книжковій главі:

Данкан, Росс (2010) "Узагальнені доказові мережі для компактних категорій з біпродуктами" в семантичних методах квантового обчислення, Кембриджський університетський прес, pp70--134 arXiv: 0903.5154v1

Повна інформація є, але коротка версія полягає в тому, що ваша логіка суперечлива, тому що у вас є нульовий доказ для кожного наслідку, а решта ваших доказів еквівалентні "матрицям", де записи матриці є доказами у біпродукті -вільна частина логіки. Якщо говорити без застережень, необхідних для того, щоб зробити це точно, отримана категорія доказів - це вільна категорія біпродуктів для деяких категорій аксіом.

— Росс Данкан
джерело

Невелике доповнення до вищесказаного: не потрібно насторожувати той факт, що ми ставимось до компактних категорій на відміну від загальних категорій. Насправді адитивна та мультиплікативна частини цієї логіки взаємодіють досить слабо. Частини, що стосуються біпродуктів, слід переносити цілком.

— Росс Дункан

Я мало знаю про теорію категорій, але, можливо, це буде корисно. Рівняння, що регулюють графічні діаграми для категорій біпродукту [Селінгер], точно еквівалентні рівнянням для атомних потоків [Гундерсена] в теорії глибокого виводу [Гуглельмі], у фрагменті, що не має заперечень. Ці доказові системи природним чином еквівалентні монотонному послідовному обчисленню [Brunnler, Jerabek].

На жаль, здається, що в останній області мало посилань на теорію категорій.

Селінгер, П. www.mscs.dal.ca/~selinger/papers/graphical.pdf, стор. 45.

Гундерсен, Т. tel.archives-ouvertes.fr/docs/00/50/92/41/PDF/thesis.pdf, стор. 74.

Guglielmi, A. alessio.guglielmi.name/res/cos/

Brunnler, K. www.iam.unibe.ch/~kai/Papers/n.pdf

Jerabek, E. www.math.cas.cz/~jerabek/papers/cos.pdf

— Анупам Дас
джерело

Дуже дякую! Я трохи надто зайнятий, щоб одразу слідкувати за посиланнями, але незабаром перегляну їх.

— Ніл Крішнасвамі