Яка мінімальна кількість біт, необхідна для зберігання головоломки судоку?

Примітка. Йдеться про стандартну головоломку судоку 9х9. Рішення має підтримувати лише вирішені головоломки . Таким чином, для рішення не потрібно підтримувати порожні клітинки і може покладатися на властивості вирішеної головоломки судоку.

Мені це було цікаво, але я не міг придумати відповіді, якою задоволений. Наївне рішення використовувало б один байт для кожної комірки (81 осередок), загальною кількістю 648 біт. Більш складне рішення дозволило б зберегти всю головоломку судоку в базовій кількості 9 (одна цифра на комірку) і вимагати біт.$\lceil\log_2(9^{81}))\rceil = 257$

Але це все ще можна вдосконалити, наприклад, якщо ви знаєте 8 з 9 чисел у підмережі 3х3, ви можете тривіально вивести 9-е. Ви можете продовжити ці думки до того моменту, коли це питання зводиться до Яка кількість унікального вирішеного судокусу? Тепер ви можете використовувати величезну таблицю пошуку, яка відображає кожне двійкове число у головоломці судоку, але це не буде корисним рішенням.

Отже, моє запитання:

Без використання таблиці пошуку, яка мінімальна кількість бітів, необхідна для зберігання головоломки судоку та за допомогою якого алгоритму?

У відповідності з тими ж рядками, що і у відповіді на виродка храповика, якщо ви заповнюєте незіркові клітинки в наступній матриці, 3x3 вікно за один раз, завжди вибираючи наступне поле для заповнення, щоб воно було таким, яке розділяє рядки або стовпці з полем, яке ви Ви вже заповнили, ви отримуєте такий зразок, як наступний, для кількості варіантів за крок (спочатку заповнюючи верхнє середнє поле, наступне верхнє праворучне поле тощо).

У кожному полі 3х3 після першого, після того, як ви заповнили один рядок або стовпець поля, три з решти шести цифр локалізовані в одному рядку. Спершу виберіть їх місцеположення, а потім заповніть інші три комірки. (Отже, фактичний порядок заповнення комірок може змінюватися залежно від того, що ви вже знаєте, але кількість варіантів ніколи не перевищує те, що я показав.)

Після того, як ви заповнили ці клітини, всі зірки визначаються.

* * * 9 8 7 6 5 4
* * * 6 5 4 3 3 2
* * * 3 2 1 3 2 1

6 5 4 * * * 6 3 3
3 3 2 * * * 5 3 2
3 2 1 * * * 4 2 1

6 3 3 6 5 4 * * *
5 3 2 3 3 2 * * *
4 2 1 3 2 1 * * *

Якщо я обчислив правильно, це дає 87 біт. В останньому блоці 3x3, згідно з коментарем Пітера Шор, слід отримати додаткові заощадження: кожне значення локалізується на одній з чотирьох комірок, і кожен рядок містить щонайменше одну клітинку із лише чотирма можливими значеннями, тому, безумовно, фактори в цьому блок повинен починатися з 4, а не з 6, але я не розумію решти факторів у відповіді Шор.

продовжується відповідь @ peter ось список найгірших випадків для кожної комірки, коли ви заповнюєте її, починаючи з верхнього лівого кута

9   8   7       6   5   4       3   2   1
6   5   4       6   5   4       3   2   1
3   2   1       3   2   1       3   2   1

6   6   3       6   5   4       3   2   1
5   5   2       5   5   3       3   2   1
4   4   1       4   2   1       3   2   1

3   3   3       3   3   3       1   1   1
2   2   2       2   2   2       1   1   1
1   1   1       1   1   1       1   1   1

це робить для 424559E + 29 можливостей або 99 біт

редагувати: забув, що останній квадрат повністю визначається всіма іншими

Вам не потрібна повна таблиця огляду для досягнення оптимальної стисливості. Я вважаю, що сучасні комп’ютери, що використовують дуже розумну таблицю огляду, здатні підрахувати кількість обмежених Sudokus, які є Sudokus з деякими цифрами. Використовуючи це, ось як кодувати (декодування схоже).

$d_1$$N_1$$d_1$$d_2$$N_2$$d_1$$d_2$$N = \sum_i N_i$

$72.4$

Редагувати: Сторінка Вікіпедії з математики Судоку допомагає нам з’ясувати картину. Також корисною є таблиця, складена Едом Расселом .

Виявляється, якщо розглядати лише перші три ряди, то по суті є лише 44 різні конфігурації. У таблиці ви можете знайти загальну кількість конфігурацій, еквівалентну будь-якій заданій (якщо припустити, що верхній рядок - 123456789), та загальну кількість доповнень кожного. Враховуючи судоку, ось як ми обчислимо його порядковий номер:

1. Нормалізуйте конфігурацію так, щоб її верхній ряд був 123456789.
2. Дізнайтеся, до якої з 44 різних конфігурацій вона належить. Стаття у Вікіпедії дає алгоритм для цього. У таблиці наведено кількість класів еквівалентності для кожної конфігурації, а також кількість доповнень.
3. Визначте порядковий номер конфігурації трьох верхніх рядків всередині його класу еквівалентності. Це можна зробити двома способами: або за допомогою списку всіх класів еквівалентності (всього 36288 у всіх класах еквівалентності), або шляхом пошуку способу швидкого їх перерахування.
4. Нормалізуйте решта рядків, сортувавши рядки 4-6 та 7-9 за першим стовпцем, а потім сортуючи ці два блоки рядків якимось довільним способом. Це зменшує кількість доповнень в 72 рази.
5. $2^{20}$
6. $i$$j$$k$$C_i,D_i$$C_i + jD_i + k$$9! \cdot 72$

Ця процедура є оборотною і призведе до отримання судоку з порядкового числа. Зауважте, що перерахування судоку було скорочено до декількох хвилин (у 2006 році; див. Сторінку розмов у статті Вікіпедії) або менше, тому я очікую, що на сучасному комп’ютері такий підхід був би дуже практичним і зайняв би кілька секунд або менше.

Ось алгоритм, який я підозрюю, що створить досить хороше кодування. У вас є готовий судоку, який ви хочете стиснути, і скажімо, ви вже закодували деякі клітини його, тому є часткова судоку (не обов'язково унікальним рішенням), де кілька клітин заповнені.

За допомогою фіксованого алгоритму підрахуйте, скільки цифр можна розмістити в кожній порожній комірці. Знайдіть першу лексикографічно клітинку, в яку можна розмістити найменшу кількість різних чисел, і кодуйте, яке з цих чисел переходить до неї (так що, якщо комірка може містити лише 3, 7 або 9, 3 кодується символом "0 ", 7 за" 1 "і 9 за" 2 "). Кодуйте отриману послідовність за допомогою арифметичного кодування (яке враховує кількість можливих чисел, які може містити комірка).

Я не знаю, як довго триватиме отримана двійкова послідовність, але я підозрюю, що вона досить коротка, особливо якщо ваш алгоритм підрахунку кількості чисел може бути розміщений у комірці досить складний.

Якби у вас був хороший алгоритм, який оцінював вірогідність кожної комірки, що містить задане число, ви могли б зробити ще краще.

Будь-які зауваження та зауваження вітаються

$69.96$$171.72$

1.) Зберігання головоломки передбачає збереження розв’язання (інформація теоретично).

$t(\alpha)\alpha^{2}$$t(\alpha)$$\alpha$$t(3) ~= 2.44444$$3$

$P$$\alpha^{4}$$t(\alpha)\alpha^{2}$

$M$$\beta \times \alpha^{4}$$\beta \ge 2t(\alpha)\alpha^{2}$$2t(\alpha)\alpha^{2}$$\{0,\pm 1\}$$\beta = kt(\alpha)\alpha^{2}$$k$

$V = MP$$\beta$$|\alpha^{2}|$$M$$\{0,\pm 1\}$

$V$$\beta\log{\alpha^{2}} = 2kt(\alpha)\alpha^{2}\log{\alpha}$

$\alpha = 3$$t(\alpha) ~= 3$$2kt(\alpha)\alpha^{2}\log{\alpha} = 69.96k$$85.86k$$k=2$$139.92$$171.72bits$

$MP$

$A.)$$k$$2$$t(\alpha)-1$

$B.)$$t(\alpha)$$t(\alpha)$$k$$t(\alpha)$${}^{\alpha^{4}}C_{t(\alpha)\alpha^{2}}$${}^{\alpha^{4}-(3\alpha^{2} - 1)}C_{t(\alpha)\alpha^{2}-3t(\alpha)}$

$t(\alpha)\alpha^{2}$

$C.)$$k$

$D.)$ $V$$V$$O(\sqrt(V_{max})) = O(\sqrt{|\alpha^{2}|})$$2$$\beta\log{\alpha^{2}} = 2kt(\alpha)\alpha^{2}\log{\alpha}$

$2k$$2$$A.)$$B.)$$C.)$$D.)$$89$$73$

Це стосується повідомлення про реалізацію завершеного судоку компактного кодування (схоже на пропозицію Zurui Wang 9/14/11).

Вхід - це верхній рядок і 1-й 3 цифри 2-го ряду. Вони знижуються до 1-9! і 1-120 і об'єднані до <= 4,4x10 ^ 7. Вони використовуються як дані, щоб підрахувати лексикографічно всі часткові сукуліси з 30 цифр до відповідної послідовності. Тоді остаточне підрахунок до 81 цифри робиться так само. Ці 3 послідовності зберігаються у вигляді 32-бітових цілих чисел максимумом 26 біт, тому їх можна стиснути далі. Весь процес займає близько 3 хвилин, причому перші 30 цифр займають більшу частину часу. Розшифровка схожа - за винятком відповідних підрахунків замість sudokus.

Незабаром - Редакція включає 1-й 3 цифри 2-го рядка при перерахуванні 30-значного завершення (2-й 32-розрядний код), порівняння з перерахуванням Джарвіса (Jscott, 3/1615)

Я б пішов із таким простим аналізом:

Кожне значення може бути збережене в 4 бітах (від 1 до 9, ці три біти дозволяють отримати навіть 0-16)

$9 \times 9 = 81$

$8 \times 8$

Я думаю, я міг би зменшити його до:

$b = \lceil \log_2(v) \rceil (n-1)$

де

$v$

$n$

Редагувати: Нео Стиль: Я знаю латекс.

Це число різне для кожного судоку. Одне з правил Судоку полягає в тому, що він має рівно одне рішення.

Отже, якщо ви подивитесь на приклад, це мінімальний обсяг даних, який ви повинні зберігати.

Якщо ви працюєте з протилежної сторони, ви можете вийняти цифру за цифрою і запустити розв'язувач на результат, щоб побачити, чи все ще є рівно одне рішення. Якщо так, ви можете видалити іншу цифру. Якщо ні, потрібно відновити цю цифру і спробувати іншу. Якщо ви не можете, ви знайшли мінімум.

Оскільки більшість головоломок починаються здебільшого порожніми, кодування довжини пробігу, ймовірно, дасть хороші результати.