Від екстракторів до псевдовипадкових генераторів?

21

Лука Тревісан показав, скільки конструкцій псевдовипадкових генераторів насправді можна вважати конструкціями витяжок:

http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/extractor-full.pdf

Чи є змістовне зворотнє? Тобто, чи можна вважати "природні" конструкції екстракторів конструкціями псевдовипадкових генераторів (PRG)?

Конструкції витяжки, здається, відповідають розподілам по PRG (таким, що будь-який розрізник не вдасться розрізнити майже для всіх). Чи відомі додатки для цього?

— Дана Мошковіц
джерело

13

Це прекрасне дослідницьке запитання, яке має кілька аспектів, і існують різні способи формалізації питання залежно від того, під витяжкою ви маєте на увазі насіннєвий екстрактор або екстрактор без насіннєвих матеріалів і чи під назвою PRG ви маєте на увазі PRG для булевих ланцюгів чи більш спеціалізованої родини (наприклад, , пробіли з епсилоном). Ось кілька неформальних думок у верхній частині моєї голови (але не повна відповідь):

Для екстракторів, що висівають насіння, та протипришпільних установок (як у Нісана-Вігдерсона), здається, що PRG з чорною коробкою є сильнішим об'єктом, ніж екстрактор. Якщо ви подивитеся на витяжку Тревізана, це не тільки обчислювальна витяжка в многочлени, але має важливе додаткове властивість. А саме аналіз має в ньому локальний та ефективний обчислювальний елемент (а саме алгоритм декодування локального списку). Ця додаткова особливість не така важлива для витяжки (як комбінаторний об'єкт, навіть якщо ми вимагаємо, щоб витяжка була обчислюваною в поліномічний час), але є вирішальною для PRG (щоб розпізнавач міг бути ефективно перетворений в алгоритм обчислення важка функція). Насправді це можна формалізувати, і Та-Шма та Цукерман вже формалізували визначення "PRG" у чорному ящику у своєму документі "Коди витяжки". Вони показують, що чорні коробки PRG можуть використовуватися для побудови витяжок. З іншого боку, я думаю, що можна показати, що будь-який екстрактор, який задовольняє вищевказаній властивості, відповідає PRG чорного поля (мовою екстрактора це означатиме, що отриманий код екстрактора повинен мати ефективний список-декодер списку). Ви також можете знайти документ Вадхана "Єдина теорія псевдовипадковості", що стосується цієї дискусії.
У світі екстракторів без насіння, Тревісан і Вадхан показують, що жорсткі функції для певного сімейства мікросхем призводять до витяжки для цієї родини (папір "Екстрактори для джерел зразків"). Так, наприклад, функція, яка дійсно складна в середньому для AC0, може витягувати з джерел, вибірених ланцюгами AC0 (якщо мінімальна ентропія джерела є достатньо великою). Жорсткі функції, природно, стосуються PRG (як це спостерігав Нісан-Вігдерсон). Тож тут ми знову отримуємо дещо іншу взаємодію між PRG та екстракторами без насіння. Однак менш зрозуміло, як можна використовувати витяжку для джерел вибірки (можливо, задовольняючи деякі додаткові властивості), щоб отримати PRG (наступна точка кулі дає часткову відповідь на це). Цей напрямок може бути менш цікавим, ніж вищезгадане обговорення для насіннєвих екстракторів, оскільки до цієї дати ми не робимо '
З комбінаторної точки зору існує подібність між ПРГ та витяжками. Ми можемо розглядати PRG як набір точок у (результати PRG для всіх можливих насінин) або рівнозначно, фарбування -вимірного гіперкуба в два кольори. Аналогічно, витяжка з одним бітом виводу (або будь-яка булева функція для цього питання) може розглядатися як набір точок (тих, для яких екстрактор оцінює ) або забарвлення (загалом кількість кольорів складе де - довжина виходу). Тепер PRG з точковою сукупністю обдурює функцію з набором точок $S$ $\{0,1\}^n$ $n$ $0$ $2^m$ $m$ $S$ iffблизький до . Також витяжка з точковою множиною витягує з плоского джерела, яке рівномірно розподілено на множині точок iffблизька до . Ця схожість між визначеннями дозволяє зробити кілька змістовних висновків. Наприклад, подивіться на афінну витяжку понад $F$ $|S \cap F|/|S|$ $|F|/2^n$ $F$ $S$ $|S \cap F|/|S|$ $1/2$ що витягує з min-ентропії , і виводить біт. Тепер розглянемо безліч рядків, які відображаються, скажімо, , екстрактором, і перекладіть, як зазначено вище, на "PRG" (з довжиною насіння ). Тепер інтерпретація забарвлень вище показує, що отримана функція справді є ПРГ для лінійних функцій; тобто ми отримуємо з витяжкою генератор з ухилом від epsilon. Це значущі стосунки, але, мабуть, не настільки корисні, оскільки отриманий PRG розтягує насіння лише на один біт. Можливо, можна досягти кращого результату, якщо витяжка видасть більше бітів, але я не ретельно перевірив це. $\{0,1\}^n$ $n-1$ $1$ $S$ $0$ $n-1$

— MCH
джерело

3

Стосовно вашого другого пункту: Документ, який ви згадуєте, дає витяжкам припускати твердість проти класів з кількісними показниками . Якщо ви кинете кількісні показники, AC ^ 0 втрачає значення. (Це те саме, що і NP, як показали Кук і Левін.) Детерміновані екстрактори, однак, еквівалентні відбору проб нижніх меж, див. ( Ccs.neu.edu/home/viola/papers/stone.pdf ), де екстрактори для AC ^ 0 також отримують.

— Ману,

3

Це пахне потенційною публікацією в блозі cstheory, якщо когось це може зацікавити :)

— Suresh Venkat,

Суреш: Хороша ідея, я не знав про блог, хоча :) ... Емануеле: Добре. Це справді справедливо для зразкових джерел, визначених Тревізаном та Вагданом. Однак потреба в кількісних показниках усувається, якщо врахувати подвійне поняття "впізнавані джерела". У випадку AC0 це буде клас розподілів, які рівномірно розподілені за нульовими зображеннями деякої ланцюга AC0. Дійсно, ви можете отримати витяжку для джерел, розпізнаваних ланцюгами AC0, використовуючи деяку жорстку функцію для AC0. (продовження ...)

— MCH

... Однак чіткі жорсткі функції, відомі для AC0, такі як парність, не гарантують експоненціально малу безпеку (перевага перед випадковим здогадом), тому ви отримаєте витяжку для введення ентропії n (1-o (1)), якщо ви використовуєте їх безпосередньо . Я думаю, що кращі результати отримує Шалтіел, використовуючи подальші хитрощі.

— MCH

13

Саліл Вадхан написав мені, що відповідь на моє запитання відома, а PRG - рівнозначні витяжкам.

Цитуючи його:

"Дивіться Пропозицію 21 та обговорення після неї в моєму опитуванні http://people.seas.harvard.edu/~salil/research/unified-icm.pdf (Є друкарська помилка -" підсилювач твердості в чорному ящику "повинен бути" чорним будівництво PRG ")

Каже, витяжки еквівалентні конструкціям PRG в чорному ящику, де вам цікаво лише кількість порад, а не час роботи в скороченні. Попрошення обмеженого часу роботи означає запит на екстрактори з "локальним розшифруванням списку". "

— Дана Мошковіц
джерело

8

Є приємний документ Кріса Уманса про аналог цього питання для диспергаторів: http://www.cs.caltech.edu/~umans/papers/U05-final.pdf

Він показує, що диспергатори, які мають процедуру реконструкції поліноміального часу, але необов'язково локальну властивість декодування, передбачають існування генераторів набору.

Ось ще один спосіб його перегляду: Екстрактори можуть розглядатися як коди, що відновлюються у списку (що є більш сильним варіантом кодів, що декодируються у списку), а PRG-коди в чорному полі можуть розглядатися локальними кодами, які можна відновити зі списку. Розсіювачі можуть розглядатися як коди, що підлягають відновленню у списку, для нульових помилок. Що показує Кріс, це те, що код, який можна відновити у списку для нульової помилки, що має процедуру відновлення списку в поліномі-часі, передбачає існування коду, який можна відновити зі списком, із локальною процедурою відновлення списку.

— Або Мейр
джерело