Складність мінімізації розміру формули полінома

28

Нехай - многочлен ступеня у змінних над , де є постійним (скажімо, 2 або 3). Я хотів би знайти найменшу формулу для , де "формула" та "розмір формули" визначені очевидним чином (наприклад, найменша формула для многочлена є ). $f(x_1,\dots,x_n)$ $d$ $n$ $\mathbb{F}_2$ $d$ $f$ $x_1 x_2 + x_1 x_3$ $x_1(x_2+x_3)$

У чому полягає складність цієї проблеми - чи вона NP-важка? Чи залежить складність від ? $d$

[Більш формально, формула (відома також як "арифметична формула") - вкорінене двійкове дерево, кожне з листя якого позначено або вхідною змінною, або постійною. Усі інші вершини дерева позначені знаками або . Розмір формули - кількість використаних листя. Формула обчислює поліном рекурсивно: вершини обчислюють суму їхніх дітей над , вершини обчислюють добуток. ] $+$ $\times$ $+$ $\mathbb{F}_2$ $\times$

cc.complexity-theory formulas

— Ешлі Монтанаро
джерело

1

чи не можемо ми звести тестування поліноміальної ідентичності до цієї проблеми?

— Kaveh

4

Я думаю, що може бути зв’язок, але я не одразу бачу його, зокрема через обмеження на ступінь. Крім того, якщо проблема складніше, ніж тестування поліноміальної ідентичності, було б цікаво дізнатися, наскільки складніше.

— Ешлі Монтанаро

У вашому випадку, як кількість воріт (

s і

s) у формулі пов'язане з фактичним розміром формули? Для

, будівництво в Еренфюхті та Карпінському 90 видається доречним (див. Абзац 2XOR) для розміру формули "ворота", але я мушу думати про це довше.

+

$+$

\times

$\times$

d = 2

$d=2$

— Алессандро Косентіно

Оскільки формула є двійковим деревом, визначення розміру формули, яку я тут використав (кількість листків), дорівнює кількості воріт (внутрішніх вершин) плюс одиниця. Але мене також зацікавлять будь-які результати для будь-якого іншого розумного визначення розміру формули. Я не впевнений, що бачу зв’язок з результатами Еренфюхта та Карпінського, оскільки мова йде про складність підрахунку рішень, а не про мінімізацію розміру формули ...

— Ешлі Монтанаро,

d = 2

$d=2$

7

Ви можете звести проблему спільної NP-TAUTOLOGY (задана булева формула, це тавтологія?) До проблеми мінімізації розміру формули (оскільки формула є тавтологією, якщо вона еквівалентна ІСТИНА). Більше того, TAUTOLOGY для 3DNF (аналогічно SAT для 3CNF) є спільним NP-завершеним.

— Дана Мошковіц
джерело

1

f

$f$

3

Існує ймовірнісне скорочення від 3SAT до перевірки, задавши поліном градуса 3 на GF (2), чи має він нуль [, переглядаючи випадкові лінійні комбінації клауз], а потім від цього до перевірки, задавши градус- 3 полі над GF (2), будь то абсолютно нульовий [віднімаючи полі від 1].

— Дана Мошковіц

1

Спасибі! Чи маєте ви якесь уявлення, яка ситуація для поліномів 2 ступеня? Також (хоча це, мабуть, дуже щільно), я намагаюся побачити, як поліном ступеня 3 над GF (2), написаний у стандартній формі, може бути абсолютно нульовим, не будучи нульовим многочленом. Щоб було зрозуміло, я уявляю, що вхід до моєї проблеми - це опис самого полінома, а не опис схеми, що обчислює поліном.

— Ешлі Монтанаро

2

x^{k} \to x

$x^k \rightarrow x$

4

Дійсно, якщо ви зробите його багатолінійним, як ви описуєте, поліном оцінює нуль на кожному вході, якщо це нульовий многочлен. Одне підтвердження: Виберіть ненульовий мононім M мінімального ступеня. Встановіть на нулі всі інші змінні. Єдиний вцілілий одночлен - це М. Задавши параметри в M до 1, ви отримаєте ненульовий вихід.

— Ману,

4

Не зовсім відповідь, але, сподіваємось, це допомагає:

$n$ $\sum a_{ij}x_iy_j$ $F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$

$3$ $n$

— Клим
джерело

2

Спасибі! Це цікавий погляд на проблему.

— Ешлі Монтанаро

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}

$f_1, f_2,\ldots,f_n$

z_{1} f_{1} + z_{2} f_{2} \dots z_{n} f_{n}

$z_1f_1+z_2f_2\ldots z_n f_n$

d = 2

$d = 2$

2

Будь-яка відповідь на це дуже залежить від лексики, яку ви допускаєте у відповіді. Якщо ви хочете, щоб ваша відповідь була тією ж мовою, що і вхідна (тобто як многочлен), це призводить до одного набору відповідей, з чим боролися інші плакати.

Але якщо ви дозволите збільшити словниковий запас відповідей , можуть статися чудові речі. Ви можете бачити приклад символічної та автоматичної диференціації: у символічній диференціації один дозволяє лише «вирази», які, як правило, сильно вибухають; при автоматичній диференціації можна відповідати прямолінійним програмам у відповіді (навіть якщо введенням було вираз), що значно допомагає контролювати набряк виразу. Для одноманітних поліномів Джеймс Давенпорт і я задумалися що вам також потрібно вводити циклотомні поліноми як частину вашого основного словникового запасу (див. посилання на те, чому ці поліноми здаються єдиним реальним джерелом вибуху, а також документи, які показують різні результати зворотності між поліноміальними проблемами і 3SAT).

Іншими словами, якщо ви дозволите собі трохи змінити те, що вважаєте відповіддю, від класичного, ви можете просто отримати відповідь, що відрізняється набагато більшою складністю. Залежно від вашої оригінальної мотивації задавати питання, чи то теоретично чи з додатком на увазі, вирішити, чи прийнятна ця варіація лексики для вас. У обстановці, де Джеймс і я думали про це (символічні обчислення), коригування словникового запасу для зниження рівня складності є цілком прийнятним (хоча це рідко робиться).

— Жак Карет
джерело

Питання задає найменшу арифметичну формулу, яку вона потім чітко визначає. Тому я не впевнений, що ця відповідь є безпосередньо актуальною. Крім того, наведена відповідь Дани Мошковіц та пов’язані з цим коментарі не відповідають правильно на запитання, як це вже було визнано в коментарях.

— Рафаель

Суть моєї відповіді полягає в тому, що ОП може не усвідомлювати, що вони не обов'язково задають найкраще питання. Питання ОП задається дуже класичним, але якщо ви дозволите невелике відхилення від цього, ви отримаєте зовсім інші відповіді, які могли бути зовсім несподіваними. Я розумію ваш коментар, але відчути, що голосування є трохи суворим.

— Жак Каретт

Чи можете ви виправити перший абзац своєї відповіді, щоб зрозуміти, що на це питання ще не відповіли правильно? Я хвилювався, що люди можуть ввести в оману.

— Рафаель

1

@Raphael: зроблено. І далі прояснили речі.

— Жак Каретт

0

Загальне мінімізація схеми / формули, безумовно, складніше, ніж тестування ідентичності, оскільки мінімальний розмір формули будь-якої ідентичності просто дорівнює нулю. Щодо того, наскільки складніше, я не маю остаточної відповіді, але, можливо, "алгоритми відновлення", вивчені в арифметичних схемах / формулах, можуть бути чимось у цьому напрямку.

$\mathcal{C}$ $3$ $\mathcal{C}$

$d$

$d=2$ $x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$

— Рампрасад
джерело

Дякуємо за ваші коментарі. На жаль, я не бачу, як використовувати ці ідеї для вирішення початкової проблеми.

— Ешлі Монтанаро