У чому сенс -перетворення в лямбдальному обчисленні?

Я думаю, що я цього не розумію, але -конверсія розглядає мене як -конверсію, яка нічого не робить, особливий випадок -конверсії, де результатом є лише термін в лямбда-абстракції, тому що нічого немає робити, вид безглуздої -конверсії.$\eta$$\beta$$\beta$$\beta$

Тож, може, -перетворення є чимось по-справжньому глибоким і відмінним від цього, але, якщо воно є, я цього не розумію, і, сподіваюся, ви зможете мені допомогти в цьому.$\eta$

(Дякую і вибачте, я знаю, що це частина самих основ обчислення лямбда)

Оновлення [2011-09-20]: я розширив абзац про -розширення та розширення. Дякуємо Антону Саліхметову за те, що він вказав на хороший довідник.$\eta$

$\eta$ -конверсія - це особливий випадок - перетворення лише в спеціальному випадку, коли сама по собі абстракція, наприклад, якщо тодіАле що робити, якщо f - змінна чи програма, яка не зводиться до абстракції?$(\lambda x . f x) = f$$\beta$$f$$f = \lambda y . y y$

$$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$$ $f$

У чомусь $\eta$ -rule - це як особливий вид розширення, але ми повинні бути обережними щодо того, як це констатується. Ми можемо констатувати розширення як:

1. для всіх $\lambda$ -термінів $M$ і $N$ , якщо $M x = N x$ тоді $M = N$ , або
2. для всіх $f, g$ якщо $\forall x . f x = g x$ тоді $f = g$ .

Перший - це мета-висловлювання про умови -calculus. У ньому постає як формальна змінна, тобто є частиною -calculus. Це можна довести з -правил, див., Наприклад, теорему 2.1.29 у «Обчисленні Лямбди: її синтаксис та семантика» Барендрегта (1985). Його можна розуміти як твердження про всі визначені функції, тобто ті, що є позначеннями -терміс.$\lambda$$x$$\lambda$$\beta\eta$$\lambda$

Друге твердження - це те, як математики зазвичай розуміють математичні твердження. Теорія -calculus описує певний вид структур, назвемо їх " -моделями ". Модель може бути незліченною, тому немає гарантії, що кожен її елемент відповідає -term (так само, як і більше реальних чисел, ніж є вирази, що описують цифри). Потім розширеність говорить: якщо ми візьмемо будь-які дві речі і в -модель, якщо для всіх в моделі, то . Тепер навіть якщо модель задовольняє$\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$$f$$g$$\lambda$$f x = g x$$x$$f = g$$\eta$ -правило, воно не повинно задовольняти розширення в цьому сенсі. (Тут потрібна довідка, і я думаю, нам потрібно бути обережними, як тлумачить рівність.)

Існує кілька способів мотивації - та -конверсій. Я навмання виберу категорію-теоретичну, замасковану як -kalculus, а хтось ще може пояснити інші причини.$\beta$$\eta$$\lambda$

Розглянемо набраний -calculus (тому що він менш заплутаний, але більш-менш те ж міркування працює для нетипізованого -calculus). Одним із основних законів, який повинен дотримуватися, є експоненціальний закон(Я використовую позначення від і беззмінно, вибираючи те, що виглядає краще.) Що таке ізоморфізми і виглядають так, як написано в -calculus? Імовірно, вони будуть і$\lambda$$\lambda$

$$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$$ $A \to B$$B^A$$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$$j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$$\lambda$ $$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$$ $$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$$ Короткий розрахунок з парою скорочень (включаючи -reductions та для продуктів) говорить про те, що для кожного маємо Оскільки і є оберненими один до одного, ми очікуємо, що , але щоб насправді довести це, нам потрібно використовувати -редукцію двічі:$\beta$$\beta$$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$$g : (C^B)^A$ $$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$$ $i$$j$$i (j g) = g$$\eta$ $$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$$ Отже, це одна з причин -редукції. Вправа: яке -правило потрібно, щоб показати, що ?$\eta$$\eta$$j (i f) = f$

Для того, щоб відповісти на це запитання, ми можемо навести наступну цитату з відповідної монографії «Обчислення Лямбди. Його синтаксис і семантика "(Barendregt, 1981):

Суть введення β η -редукції полягає у наданні аксіоми для доказних висловлювань у розширеному λ -рахунку [ теорія λ + ext , де ext означає правило M x = N x ⇒ M = N ], таким, щоб воно мало Власність церква – Розсер.$\beta\eta$$\lambda$$\lambda + \text{ext}$$\text{ext}$$M x = N x \Rightarrow M = N$

Пропозиція. М = & beta ; п Н ⇔ А , п ⊢ М = N ⇔ А , + внутр ⊢ М = Н .$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[Його доказ ґрунтується на наступній теоремі.]

Теорема (за Каррі). Теорії λ + ext і λ η еквівалентні… [Її доказ складається з двох частин: ( ext ) ⇒ ( η ) і навпаки.]$\lambda + \text{ext}$$\lambda\eta$$(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

Однією з причин вважати систему λ η є те, що вона має певну властивість повноти… [А саме, у значенні наступної теореми.]$\lambda\eta$

Теорема. Нехай обидва M і N мають нормальну форму. Тоді або λ η ⊢ M = N , або λ η + M = N суперечливо ...$M$$N$$\lambda\eta \vdash M = N$$\lambda\eta + M = N$

HP-завершені [після теорії Гільберта – Пост] відповідають максимально послідовним теоріям теорії моделей для логіки першого порядку.

Просто додати до дуже гарної відповіді Андрія: теорія нетипізованого λ -рахунку з правилами відновлення β та η задовольняє деяким дуже приємним властивостям:$\lambda$$\beta$$\eta$

• Це послідовно в тому сенсі, що є два терміни, наприклад λ x y . x і λ x y . y , які не є β η еквівалентом. Це наслідок теореми злиття для відновлення β η .$\lambda x y.x$$\lambda x y.y$ $\beta\eta$$\beta\eta$

• Це максимально послідовна теорія в наступному сенсі: якщо ι - відношення еквівалентності на таких умовах, що:$\iota$
  

  1. Він закритий конгруенцією: u = ι v ⇒ t u = ι t v       і т.д.$u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$

  2. Він дорівнює 2 не β η еквівалентним термінам,$\beta\eta$ які є нормальними формами : в нормальній формі існують t і u такі, що t = ι u і t ≠ β η u .$t$$u$$t=_\iota u$$t\neq_{\beta\eta}u$

Тоді теорія суперечлива : для кожного члена t , u у нормальній формі, t = β η ι u .$t$$u$$t=_{\beta\eta\iota}u$

Це наслідок теореми Бьома.

η -редукція фіксує поняттярозширеності- дві функції вважаються рівними, якщо вони дають однакові виходи на одних і тих же входах.$\eta$

Одним із способів формалізації цього поняття є наступний: якщо ми розглянемо відношення = β η , транзитивно-рефлексивне замикання відношення → β η , це природно охарактеризувати це відношення з точки зору правил виведення рівняльної теорії (наприклад: правила форми: якщо M = N , то λ x . M = λ x . N і т . д . - для характеристики = β потрібно приблизно 7 правил такого роду).$=_{\beta \eta}$$\rightarrow_{\beta\eta}$$M=N$$\lambda x.M = \lambda x.N$$=_{\beta}$

Тепер заміщення = β на = β η означає введення аксіоми λ x . М х = М , що еквівалентно правилу екстенсіональності : якщо М х = Н х , то M = N . Це саме те поняття, що дві функції, рівні за всіма вхідними аргументами, слід вважати однаковими.$=_{\beta}$$=_{\beta\eta}$$\lambda x. Mx = M$$Mx=Nx$$M=N$