Цілком класичний корпус (MIP)
Якщо верифікатор класичний і немає попереднього заплутування серед доказів, ваш клас містить BPP∪NP і міститься в MA .
Тривіально, що БПП є нижньою межею. Для того, щоб показати, що клас містить NP, розглянемо стандартну двовірну однокруглу інтерактивну систему доказів для 3-кольоровості з ідеальною повнотою та помилкою звукості 1-1 / poly. Якщо ви хочете зменшити похибку звуковості до постійної, комбінуйте це з теоремою PCP.
Що стосується верхньої межі, то має місце наступне більш сильне твердження: MIP з обмеженням, що загальна довжина повідомлення від перевіряючого до кожного довідника дорівнює O (log n ), дорівнює MA. Це тому, що стратегія кожного довідника може бути описана рядком довжини полінома.
Цікаво, що інша верхня межа існує тоді, коли система має ідеальну повноту. А саме, багатодоказові інтерактивні системи доказів з ідеальною повнотою з O (log n ) -бітовим загальним зв'язком розпізнають не більше P NP [log] , і це справедливо, навіть якщо ми допускаємо необмежену помилку звуковості. Щоб довести це у випадку двох доказів, нехай x s - конкатенація всіх відповідей, що даються першим доказом, коли з’єднання всіх питань з першим доказом s , і визначте y t аналогічно другому доказу. Щоб верифікатор був прийнятий з певністю, ці змінні x s і y tповинні задовольняти певним обмеженням та зауважити, що це 2CSP. Є щонайбільше полі ( n ) варіанти для кортежів ( s , t , x s , y t ), і для кожного вибору ми можемо використовувати NP-оракул, щоб перевірити, чи відхиляє перевіряючий цей кортеж. Тому за допомогою NP oracle ми можемо перелічити всі обмеження змінних x s та y tу поліном час. Нарешті, ми знову використовуємо NP Oracle, щоб перевірити, чи існує призначення цих змінних, яке задовольняє всім обмеженням. Хоча цей алгоритм багато разів використовує NP oracle polynomially, всі запити, за винятком останнього, можна робити паралельно, і тому це може бути перетворено в алгоритм P NP [log] . Випадок більш ніж двох доказів є аналогічним.
З цієї верхньої межі випливає, що, хоча кожну систему МА можна перетворити на єдину з повною повнотою, ми не можемо сподіватися на багатопрофільну інтерактивну систему доказів, яка має ідеальну повноту з O (log n ) -бітовим зв’язком, якщо MA⊆P NP [log] . Я не знаю, наскільки малоймовірним є включення MA⊆P NP [log] , але я лише зазначу, що Зоологія Складності стверджує, що існує оракул, щодо якого BPP⊈ P NP (і тому явно MA⊈P NP [log] ).
(У випадку одного доказування, з теореми 2 Голдрейха та Хестада [GH98] випливає, що IP із загальною довжиною повідомлення O (log n ) біт дорівнює BPP.)
Додано . Необхідна і достатня характеристика полягає в наступному.
Щоб пояснити цю характеристику, нам потрібен варіант поняття приводимості Карпа (зворотність багаточленного часу, багато одного). Для двох проблем з рішеннями A і B скажемо, що A - FP BPP, зводиться до B (я знаю, це жахлива назва), коли існує детермінований поліномальний час машина Тьюрінга M з доступом до оракула BPP, який відображає так - екземпляри так-інстанцій і ні-екземпляри-ні-екземпляри, де ми дозволяємо доступ до «нерозумного» оракула (мається на увазі, що Mможе зробити запит до оракула BPP про екземпляр, який не задовольняє обіцянці проблеми BPP, і тоді оракул повертає так чи ні довільно). Тоді можна довести, що наступні умови задачі А рівнозначні.
(i) A має багатопрофільну систему інтерактивного доказування з O (log n ) -бітовим зв’язком та двосторонньо обмеженою помилкою.
(ii) A має двоповерхову однокруглу інтерактивну систему доказів з O (log n ) -бітовим зв’язком, експоненціально невелику похибку повноти та постійну помилку звуковості.
(iii) A FP BPP -відводиться до проблеми в NP.
(Доказна ідея: імплікація (ii) ⇒ (i) є тривіальною. Імплікація (i) ⇒ (iii) може бути отримана аналогічно наведеному вище доказуванню у випадку односторонньої помилки. Імплікація (iii) ⇒ (ii) ) випливає з теореми PCP, оскільки клас задач, що задовольняють умові (ii), закритий під FP BPP -відводимість.)
Класичний верифікатор із заплутаними доказчиками (MIP *)
Далі розглянемо випадок із класичним верифікатором та заплутаними доказчиками. У цьому випадку клас із обмеженою помилкою знову містить BPP∪NP.
Kempe, Kobayashi, Matsumoto, Toner і Vidick [KKMTV11] показує, що кожна проблема в НП має трикругову кругову інтерактивну систему доказів з ідеальною повнотою та помилкою звукості 1−1 / poly, де загальна довжина повідомлень становить O ( log n ) біти, а звуковість утримується проти заплутаних доказів. Тому MIP * із загальною довжиною повідомлення O (log n ) бітами та обмеженою помилкою містить NP. Пізніший результат Ito, Kobayashi та Matsumoto [IKM09] (безсоромний штекер) зменшує кількість доказів з трьох до двох. Випадок постійної звуковості відкритий у верхній частині моїх знань.
Невідомо, чи міститься біт MIP * із загальною довжиною повідомлення O (log n ) у класі R вирішуваних задач чи ні, і це питання еквівалентно тому, чи MIP * ⊆R (інша відкрита проблема) аргументом padding.
Список літератури
[GH98] Одід Голдрайх та Йохан Хестад. Про складність інтерактивних доказів із обмеженим спілкуванням. Листи з обробки інформації , 67 (4): 205–214, серпень 1998 р. Http://dx.doi.org/10.1016/S0020-0190%2898%2900116-1
[IKM09] Цуйосі Іто, Хіротада Кобаяші та Кейджі Мацумото. Оракуляризація та двобічний однобічний інтерактивний доказ проти нелокальних стратегій. Праці: Двадцять четверта щорічна конференція IEEE з обчислювальної складності (CCC 2009) , 217–228, липень 2009 р. Http://dx.doi.org/10.1109/CCC.2009.22
[KKMTV11] Джулія Кемпе, Хіротада Кобаяші, Кейдзі Мацумото, Бен Тонер та Томас Відік. Заплутані ігри важко наблизити. Журнал обчислювальної техніки SIAM , 40 (3): 848–877, 2011. http://dx.doi.org/10.1137/090751293