Зменшення використання місця st-підключення за допомогою декількох проходів?

Припустимо, графік з n вершинами представлений у вигляді потоку з m ребер, але через потік дозволено кілька проходів.$G$$n$$m$

Моніка Раух Гензінгер, Прабхакар Рагаван і Шрідар Раджагопалан зауважили, що простір необхідний, щоб визначити, чи існує шлях між двома заданими вершинами в G , якщо через дані дозволено проходження k . (Див. Також версію технічного звіту .) Однак вони не містять алгоритму, щоб реально досягти цієї межі. Я припускаю, що оптимальний алгоритм насправді приймав би O ( ( $\Omega(n/k)$$G$$k$ простір в реалістичній обчислювальній моделі, оскільки треба відрізняти n різних вершин, якщо не можна індексувати пам'ять, використовуючи покажчики постійного розміру.$O((n\, \log\, n)/k)$$n$

Як можна вирішити підключення графа з проходами, використовуючи $k$ простір?$O((n\, \log\, n)/k)$

Якщо дозволений лише один прохід, вхідні дані можуть зберігатися як розділ набору вершин, об'єднуючи множини, якщо між вершинами видно ребро у двох різних наборах. Цього явно потрібно максимум простір. Моє запитання щодо k > 1 : як можна використовувати більше проходів, щоб зменшити необхідний простір?$O(n\, \log\, n)$$k > 1$

(Щоб уникнути тривіальності, - параметр, який не можна апріорі обмежувати постійною, а пробіли - це вирази, що включають функції n і $k$$n$$k$ .)

Оновлення: навіть для було б дуже корисно мати спосіб зберігання лише n / 2 вершин. Або насправді є сильніша нижня межа c n для деякої постійної с , незалежно від k ?$k=2$$n/2$$cn$$c$$k$

Тривала відкрита проблема знайти алгоритм st-підключення, який працює в одночасно сублінійному просторі та поліномічному часі, що є простішим завданням, на що ви прагнете. Такі алгоритми відомі для ненаправленої версії , але навіть вони вимагають великого поліноміального часу (а не часу O (км), який би мався на увазі за алгоритмом k-pass). Особливо дивіться посилання на статтю Томпа про те, чому спрямований вигляд здається важким.

$k = \Theta(n)$$O(\log n)$$O(nm)$

Йоссі Шилоах, Узі Вишкін. Алгоритм паралельної зв’язності O (log n). J. Algorithms, 1982: 57 ~ 67 - Один з моїх улюблених праць. Було б цікаво, якби ви могли це зробити в просторі O ((nlogn / k) / p) з процесорами p в$k$ раунди, де кожен раунд кожного процесора дозволяється читати лише в O (n / p) ребер.

Ще одна невідповідь: є кілька робіт про алгоритми стилю mapreduce, що працюють на великих графіках. Метою є досягнення простору o (m) на машині для щільних графіків, але зазвичай потрібно O (n) місця на машині.

теорія.stanford.edu/~sergei/papers/soda10-mrc.pdf http://theory.stanford.edu/~sergei/papers/spaa11-matchings.pdf

Також не відповідь, але ви можете вирішити st-підключення в $O(n\log n/ k)$ недетермінований простір з $k$пропускає. Просто вгадайте перше$n/k$ вузли $st$ шлях і перевірте, що вони підключені в першому раунді, а потім продовжуйте з останнього з них $n/k$ вершин і перевірте наступну $n/k$ від $st$ шлях тощо.