Коли властивість FO знищує твердість NL?

Контекст: Ми розглядаємо лише графіки. Нехай CYCLE - мова графіків із циклом; це проблема, повна NL. Нехай HASEDGE є мовою графіків, принаймні одним ребром. Тоді тривіально вже не є важким для NL, тоді як залишається таким. $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$

Актуальна проблема: мені цікаво, чи мова все ще є NL-важким.

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$

Питання: Для якої формули FO у лексиці графіків NL-hard? Чи вирішується ця властивість? $\phi$

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$

Дякуємо за ваш внесок!

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— Міхаель Каділхак
джерело

Відповіді:

Дозвольте мені назвати властивість у вашому "Актуальна проблема" . Наступне відображення зводить до : $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

Для даного замініть кожну вершину в на дві копії і , а якщо в є край , нехай має ребра і . Таким чином, для кожного графік задовольняє . $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

Більше того, має цикл, якщо має цикл, тому задовольняє iff насичує . Тому є важким для NL. $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

Я думаю, подібна конструкція спрацювала б для кожної суто універсальної власності.

— Ян Йогансен
джерело

Дякую за вашу роботу, січень! Але я не впевнений, що ви вирішили цю проблему повністю, бо якщо структура NODIAG з'явиться в G, вона все одно з’являється в кінці вашої будівництва, AFAIU.

— Michaël Cadilhac

Так, але так що. Конструкція примушує цей . Отже, якщо , то , отже . OTOH, якщо , то , а значить . Таким чином, побудова зводить до .

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

— Ян Йогансен

Ян, мені дуже шкода, я заплутався з формулюванням свого питання; описаний підграф повинен вважатися графіком ВИКЛЮЧЕНОГО. Зауважте, що з попереднім формулюванням вам просто потрібно буде додати чотири свіжих вузли та ребра , , і щоб граф не був NODIAG. Знову мені дуже шкода помилок.

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— Michaël Cadilhac

(PS: Оскільки я завдячую вам тим, що працювали над неправильним запитанням, ось документ TCS з приємною назвою, яка не відображається у вашому списку: Діаманти назавжди (The Variety DA) Тессона та Терієна.)

— Michaël Cadilhac,

У такому випадку, як щодо того, щоб просто додати нову вершину в кожне ребро: у замініть кожне на і . Отриманий графік є циклічним iff є, і не має виключеної структури. До речі, я більше не підтримую цей список.

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Ян Йохансен

Актуальна проблема - у ФО. Тестування, чи існує , що і , очевидно, у FO. $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

Припустимо, що таких , тоді допускає спрямований цикл тоді і лише тоді, коли допускає спрямований цикл довжиною два. Це може бути виведено з того факту , що для будь-яких двох вершин і з , їх витрачених околиць і таке , що або . $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

Таким чином, достатньо перевірити, чи існує такий, що , який знаходиться у FO. $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

Отже, знаходиться в тоді і лише тоді, коли $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— Адрієн
джерело

Дякую Адрієн. Чи хотіли б ви додати аргумент щодо того, чому околиці будь-яких двох вузлів порівнянні? Я зачекаю трохи, щоб дізнатися, чи хтось вирішує повну проблему, і якщо ніхто не з’явиться, я піду за вашою відповіддю.

— Michaël Cadilhac

Я не думаю, що порівнянність позаміських районів дійсно має місце. Візьмемо, наприклад, графік всього чотирьох вершин з ребрами та . Цей графік задовольняє формулу Майкла, але незрівнянний з .

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— Ян Йогансен

@Jan: Якщо я не помиляюся, пункт Адрієна полягає в тому, що якщо графік <i> не задовольняє другу частину, то, якщо він має цикл, він має цикл довжиною 2. Отже, його точка полягає в що якщо графік <i> не відповідає другій частині, то порівнянність має місце.

— Michaël Cadilhac