Розділіть графік на цикли, що розмежовуються на вузлах

Пов'язана проблема: Теорема Веблена стверджує, що "Графік допускає розклад циклу тоді і лише тоді, коли він є рівним". Цикли є роз'єднанням ребер, але не обов'язково вузлом роз'єднання. По-іншому, "Набір графів графіка можна розділити на цикли, якщо і тільки якщо кожна вершина має рівний ступінь".

Моя проблема: Цікаво, чи хтось вивчав графік розділу на цикли, нерозмежовані вузлом. Тобто, розділити вершини графа на , а кожен підграф, індукований є гамільтоновим. $V$ $G$ $V_1, V_2, \cdots, V_k$ $V_i$

Це NP-важко чи просто?

Більше пов'язана проблема: Розбиття на трикутник є NP-повним. (Сторінка 68 розділу "Комп'ютери та взаємозв'язок")

Дякую за пораду заздалегідь. ^^

cc.complexity-theory graph-theory co.combinatorics

— Пен Чжан
джерело

Існує легке зведення до відповідності. Добре відома вправа в алгоритмах.

— Чандра Чекурі

Це ваша проблема: en.wikipedia.org/wiki/Vertex_cycle_cover ?

— Thomas Ahle

@ThomasAhle Спасибі, я не знав про цю сторінку wiki. Він називається "неперервна обкладинка циклу", згадана на цій сторінці вікі.

— Пен Чжан

Розділ на цикли, що перебувають у вершині, - це те саме, що і 2-регулярний підграф, більш відомий як 2-фактор. Його можна знайти (якщо він існує) у поліноміальний час алгоритмом на основі відповідності. ~~Наприклад, дивіться це посилання .~~

ETA Листопад 2013: З коментарів нижче випливає, що скорочення від джерела, пов'язаного вище, неправильне. Однак твердження, що проблему можна звести до ідеального узгодження, залишається правильним. Правильне скорочення - WT Tutte (1954), "Короткий доказ факторної теореми для кінцевих графіків", канадський Дж. Матх. 6: 347–352 .

Замініть кожну вершину на ступінь на повний графік і представляйте кожне ребро початкового графіка ребром від однієї вершини до однієї вершини (на (сторона з вершинами ) таким чином, що кожна вершина на тій стороні має рівно один такий крайовий інцидент. $v$ $d$ $G_v=K_{d,\,d-2}$ $uv$ $G_u$ $G_v$ $d$ $G_v$

$d-2$ $G_v$ $d-2$ $d$ $G_u$

— Девід Еппштейн
джерело

Я не розумію. Усі знайдені мною згадки про цей алгоритм починаються з обчислення туру ейлера. Однак є безліч графіків, які підлягають обробці циклу, не маючи екскурсій по еулеру. Чи це також в P, якщо ми не вимагаємо використання всіх ребер?

— Thomas Ahle

Ви читали статтю, до якої я посилався? Я не бачу там турів Ейлера.

— Девід Еппштейн

E^{'}

$E'$

(i, j)

$(i,j)$

V

$V$

V^{'}

$V'$

(i, j^{'})

$(i,j')$

V

$V$

V^{'}

$V'$

Я маю на увазі, я також міг би перетворити кожен непрямий край у спрямований край у кожному напрямку, але тоді відповідність може просто дати мені багато циклів "довжина 2", ні?

— Томас Ейл

k

$k$

k

$k$