Які

Знаменита картина світу Ніла Імермана наступна (натисніть, щоб збільшити):

Його клас "Воістину здійсненний" не включає жодного іншого класу; моє питання тоді:

Що таке проблема AC ^0, яка вважається непрактичною, і чому?

cc.complexity-theory circuit-complexity

Може бути проблема, яка вимагає схем глибини 10 ^ {10 ^ 100}?

— Tsuyoshi Ito

@Ross: Я не думаю, що він не згадав про "реальний світ" і запитав "чому"; Я думаю, що мій попередній коментар відповідає хоча б частині "чому". Однак, правда, у мене немає прикладу «природних» проблем, які знаходяться в AC0 і потребують схем глибини 10 ^ {10 ^ 100}.

— Tsuyoshi Ito

Існує чимало цікавих реальних проблем, які можна вирішити в постійному часі та постійному просторі (практично в будь-якій моделі обчислень), але люди зараз мають уявлення, як їх вирішити на практиці. Крайні приклади - обчислення певних констант; ми могли б жорстко зафіксувати правильну відповідь (наприклад, 0 або 1), але відповіді ми ще не знаємо.

— Юкка Суомела

Юкка: це проблемні випадки. Діофантинові рівняння (як Ферма) не можна визначити як клас, навіть якщо окремі екземпляри, які ми вирішили, насправді мають контури постійної глибини.

— Андраш Саламон

@ András: Якщо ви віддаєте перевагу проблемам рішення з нескінченно багатьма екземплярами "так" і "ні": Нехай

складається з усіх парних чисел і

, де

якщо у білого гравця є стратегія виграшу в шахах, а в іншому випадку

. Тривіально, існує дуже просте сімейство схем, яке вирішує

, але я все одно стверджую, що це "непрактично". Не тому, що схема була б величезною, а тому, що проектування схеми було б величезним обчислювальним зусиллям ... Обман? -)

L

$L$

x

$x$

x = 1

$x = 1$

x = 3

$x = 3$

L

$L$

— Jukka Suomela

Відповіді:

Якщо ви хочете зробити приклад функції змінного струму ^0, яка вимагає глибини , і її неможливо обчислити за ланцюгами AC ⁰ глибини , то спробуйте функції Sipser . Надпис - це глибина, необхідна для ланцюга змінного струму змінного струму ⁰ . З глибиною $d$ $d-1$ $S^{d,n}$ $d$ ланцюгу знадобиться експоненціально багато воріт. $d-1$

Тому обчислення для не було б "справді здійсненним". $S^{d,n}$ $d = 10^{10^{100}}$

EDIT: Ваше питання також задає питання, чому це було б нездійсненно. Я гадаю, що причина полягає в тому, що більше, ніж кількість атомів у видимому Всесвіті. $10^{10^{100}}$

— Робін Котарі
джерело

Це чудово, дякую! Можливо, ви можете додати неофіційне визначення функцій Шипсера? Я не знав про це ім'я.

— Michaël Cadilhac

@ Michaël: На жаль, у мене немає хорошого інтуїтивного визначення функцій Шипсера. Ідея полягає в тому, щоб зробити функцію d кванторів таким чином, щоб жодна схема глибини d-1 не змогла її обчислити. Таким чином, ми хочемо, щоб кількісні показники d були кількісно оцінені за дуже великою кількістю змінних. Там хороша стаття Адди Tzameret, що її названо «Поділ Håstad за постійною глибині схем з використанням Sipser функцій» ( itcs.tsinghua.edu.cn/~tzameret/SipserSwitching.pdf ) , який визначає функцію формально на сторінці 7.

— Robin Kothari

Вся ця ієрархія навмисно є надійною при поліноміальних змінах вхідного розміру. Таким чином, будь-який клас у ньому може містити функції, складність яких скажемо n ^ {1000000000}, що теоретично було б «здійсненним», але, безумовно, не так. Однак, швидше за все, це будуть дуже штучні проблеми. Зокрема, за аргументом підрахунку існує сімейство формул DNF (= AC ^ 0 ланцюгів глибини 2) розміром n ^ 1000000, яке не може обчислити жоден алгоритм, час роботи якого менший n ^ 999999. (У єдиній обстановці ми очікуємо щось подібне, але не можемо цього довести.)

— Нім
джерело

Проблема зупинки, коли вхід представлений унарним, знаходиться в АС ^ 0, але насправді є зовсім нездійсненним. Я не впевнений, що це ви мали на увазі, але це може бути те, що мав на увазі Імерман.

— Elad
джерело

Я думаю, класи на діаграмі визначені з якимось поняттям рівномірності? В іншому випадку напрямок вгору не представлятиме стримування, оскільки P не містить неоднорідного AC ^ 0.

— Робін Котарі

A C^{0}

$AC^0$

{0, 1}

$\{0,1\}$

{0, m a x; X, B I T, \leq, =}

$\{0,max; X,BIT,\le,=\}$

X

$X$ єдиний неозначений одинарний предикат).

— Іддо Цамарет

Точка добре взята. В якості альтернативи, слідкуючи за Ердосом, замість цього можна запропонувати проблему, що для будь-якого введення виводиться номер Ramsey для червоного шість та синього шість.

— Elad